Рівняння Ланжевена

Рівняння Ланжевена — стохастичне диференціальне рівняння, що використовується в статистичній фізиці для опису процесів із випадковими силами, наприклад, броунівський рух.

Виходячи з рівняння Ланжевена, для випадкових сил із певними характеристиками можна побудувати рівняння Фоккера — Планка, які задають еволюцію функції розподілу змінної.

Броунівський рух

Перше рівняння, вивчене Полем Ланжевеном, описувало броунівський рух з постійним потенціалом, тобто прискорення $𝐚$ броунівської частинки з масою $m$, що виражається через суму сили в'язкого тертя, яка пропорційна швидкості частинки $𝐯$ за законом Стокса, шумового члена $\mathit{\eta }(t)$ (назва, яка використовується у фізиці для позначення стохастичного процесу в диференціальному рівнянні) — за рахунок безперервних зіткнень частинки з молекулами рідини, і $\mathrm{\Phi }(𝐱)$ — систематичної сили, що виникає при внутрішньомомекулярних та міжмолекулярних взаємодіях:

$m𝐚=m\frac{d𝐯}{dt}=\mathrm{\Phi }(𝐱)-\gamma 𝐯+\mathit{\eta }(t).$

Розв'язок рівняння

Перепишемо рівняння Ланжевена без зовнішніх сил. Крім того, без втрати загальності можна розглядати тільки одну з координат.

$m\ddot{x}=-\frac{1}{B}\dot{x}+F(t)$

Будемо вважати, що випадкова сила задовольняє таким умовам:

$⟨F(t)⟩=0$

$⟨F(t_1)F(t_2)⟩=b\delta (t_1-t_2)$

де b — деяка константа, яку ми визначимо пізніше, $\delta (t_1-t_2)$ — дельта-функція Дірака. Кутовими дужками позначено усереднення за часом. Це так звана дельта-корельована випадкова величина: її автокореляційна функція дорівнює дельта-функції. Такий випадковий процес також називається білим шумом.

Перепишемо рівняння в термінах швидкості:

$\dot{v}=-\lambda v+\frac{F}{m}$

де $\lambda =\frac{1}{mB}$

Нехай в початковий момент часу $t=t_0$ частинка мала швидкість $v_0$. Будемо шукати розв'язки у вигляді: $v(t)=u(t)\exp (-\lambda t)$, тоді для $u(t)$ отримаємо наступне диференціальне рівняння:

$\dot{u}(t)=\exp (\lambda t)\frac{F}{m}$

У підсумку, отримуємо шуканий вираз для швидкості:

$v(t)=v_0\exp (-\lambda t)+\exp (-\lambda t)\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{F(\tau )}{m}\exp (\lambda \tau )d\tau$

З нього випливають два важливих співвідношення:

1. $⟨v(t)⟩=v_0\exp (-\lambda t)$. Тобто середнє значення швидкості прямує до нуля з плином часу.
2. $⟨v^2(t)⟩=v_0^2\exp (-2\lambda t)+\frac{b}{2\lambda m^2}(1-\exp (-2\lambda t))$.

Середній квадрат швидкості з часом прямує до значення $\frac{b}{2\lambda m^2}$.

Якщо припустити, що кінетична енергія частинки з часом прямує до теплової, то можна визначити значення коефіцієнта $b$:

$b=2\frac{k_{B}T}{B}$

Перетворенням початкового виразу можна отримати, що:

$\frac{d⟨x^2(t)⟩}{dt}=\frac{2}{\lambda }⟨{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2⟩$

$⟨{𝐱}^2⟩=6k_{B}TBt$

Звідси випливає співвідношення Ейнштейна:

$D=k_{B}TB$

де B — рухливість броунівської частинки, а $D$ - коефіцієнт дифузії.

Див. також

• Ланжевенівська динаміка

Посилання

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга