Рівняння Больцмана

Рівняння Больцмана або кінетичне рівняння Больцмана — рівняння, що описує еволюцію розподілу частинок нерівноважної термодинамічної системи в просторі координат та за швидкостями.

Людвіг Больцман запропонував це рівняння для опису нерівноважних газів, але воно стало широко вживатися й для електронного газу твердих тіл, оскільки дозволяє легко врахувати особливості квантової статистики Фермі — Дірака. Для просторово неоднорідної системи рівняння Больцмана дозволяє розраховувати процеси дифузії частинок. Для системи у зовнішніх полях рівняння Больцмана дозволяє визначити баланс між прискоренням частинок полями й дисипацією їхньої енергії під час зіткнень.

Формулювання

Для опису нерівноважної термодинамічної системи вводиться залежна від часу t, просторових координат $𝐫$ й швидкості частинок $𝐯$ функція розподілу $f(t,𝐫,𝐯)$, яка задає ймовірність того, що частинка в момент часу t матиме перебуватиме в кубі з вершиною в точці $𝐫$ і стороною $d𝐫$, а її швидкість буде в діапазоні від $𝐯$ до $d𝐯$. Для цієї функції справедливе рівняння:

$\frac{\partial f}{\partial t}+𝐯\cdot \mathrm{\nabla }f+\frac{𝐅}{m}\cdot {\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f=𝒥\left\{f\right\}$,

де m — маса частинок, $𝐅$ — сума зовнішніх сил, які діють на ці частинки.

Зміна функції розподілу, тобто ймовірності того, що частинка перебуватиме в околі певної точки й матиме певну швидкість, відбувається:

• завдяки вильоту частинки із об'єму;
• завдяки прискоренню чи сповільненню, викликаному дією зовнішніх сил;
• завдяки зіткненню із іншими частинками.

Член в правій частині рівняння Больцмана $𝒥\left\{f\right\}$ описує зміну функції розподілу при зіткненнях і називається інтергралом зіткнень. При цьому детальна механіка розсіювання частинок не розглядається. Вважається, що при розсіюванні частинки миттєво міняють свої швидкості.

Рівняння Больцмана справедливе для полів, які не дуже швидко міняються в просторі. Вважається, що кожен елементрарний об'ємчик досить великий, щоб для нього можна було ввести функцію розподілу, але малий в порівнянні із характерною довжиною зміни зовнішніх полів.

Рівняння Больцмана нехтує узгодженим рухом частинок. Його справедливість обмежена газами, в яких зіткнення відбуваються не дуже часто. В випадку більших густин частинок застосовуються складніші рівняння, наприклад рівняння ББГКІ.

Інтеграл зіткнень

Зіткнення між частинками призводить до зміни їхніх швидкостей. Якщо $W(𝐯,{𝐯}^{\prime })d^3{v}^{\prime }dt$ задає імовірність розсіювання частинки із стану зі швидкістю $𝐯$ у стан зі швидкістю ${𝐯}^{\prime }$, то інтеграл зіткнень для класичних частинок записується у вигляді: $𝒥\left\{f\right\}=\underset{{𝐯}^{\prime }}{\int }[f(t,𝐫,{𝐯}^{\prime })W({𝐯}^{\prime },𝐯)-f(t,𝐫,𝐯)W(𝐯,{𝐯}^{\prime })]d^3{v}^{\prime }$.

У випадку квантового характеру статистики частинок цей вираз ускладнюється неможливістю двох частинок перебувати в стані з однаковими квантовими числами, а тому потрібно враховувати неможливість розсіювання в зайняті стани. Шаблон:Докладніше1.

Наближення часу релаксації (τ-наближення)

Рівняння Больцмана — складне інтегродиференціальне рівняння в часткових похідних. Окрім того, інтеграл зіткнень залежить від конкретної системи, від типу взаємодії між частинками та інших факторів. Знаходження загальних характеристик нерівноважних процесів — непроста справа.

Однак, відомо, що в стані термодинамічної рівноваги інтеграл зіткнень дорівнює нулю. Справді, в стані рівноваги в однорідній системі при відсутності зовнішніх полів усі похідні в лівій частині рівняння Больцмана дорівнюють нулю, тож інтеграл зіткнень теж повинен дорівнювати нулю.

При малих відхиленнях від рівноваги функцію розподілу можна подати у вигляді

$f=f_0+f_1$,

де $f_0(𝐯)$ — рівноважна функція розподілу, що залежить лише від швидкостей частинок і відома з термодинаміки, а $f_1$ — невелике відхилення.

В цьому випадку можна розкласти інтеграл зіткнень у ряд Тейлора відносно функції $f_1$, і записати його у вигляді:

$-\frac{f_1}{\tau }=-\frac{f-f_0}{\tau }$,

де τ — час релаксації. Таке наближення називається наближенням часу релаксації (або τ-наближенням).

Час релаксації, який входить у рівняння Больцмана залежить від швидкості частинок, а отже енергії. Час релаксації можна розрахувати для конкретної системи із конкретним процесами розсіювання частинок.

Рівняння Больцмана в наближенні часу релаксації записується у вигляді

$\frac{\partial f}{\partial t}+𝐯\cdot \mathrm{\nabla }f+\frac{𝐅}{m}\cdot {\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f=-\frac{f-f_0}{\tau }$.

Застосування

Рівняння Больцмана застосовують для опису плазми, в теорії твердого тіла тощо, всюди, де вивчаються транспортні явища: електропровідність, термоелектричні явища, дифузія, ефект Хола та ін.

Джерела

• Шаблон:Cite book