Рівнобедрений прямокутний трикутник

Рівнобедрений прямокутний трикутник

Описане та вписане коло у рівнобедреному прямокутному трикутнику. Відстань між центрами кіл однакова $d=r$.

Рівнобедрений прямокутний трикутник і рівнобедрений трикутник з рівними описаним і вписаним колом і однаковій відстані між їх центрами $d=r$.

РівнобеШаблон:Наголосдрений прямокуШаблон:Наголостний трикуШаблон:Наголостник — це особливий випадок рівнобедреного і прямокутного трикутника, у якому внутрішній кут дорівнює 45°:

$\alpha =\beta =45^{\circ }=\frac{\pi }{4},$

третій внутрішній кут є прямим:

$\gamma =180^{\circ }-2\alpha =90^{\circ }=\frac{\pi }{2},$

так що внутрішні кути відносяться як 1 : 1 : 2.

Бічні сторони трикутника дорівнюють:

$a=b=\frac{c\sqrt{2}}{2},$

основа дорівнює:

$c=a\sqrt{2},$

тому сторони відносяться як 1 : 1 : √2. Бічні сторони є катетами, основа є гіпотенузою.

Чотири таких трикутники утворюють квадрат, у яких основа така ж, як квадрат площі. Якщо основа дорівнює діагоналі квадрата, то квадрат складається з двох таких трикутників.

Висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині:

$v_c=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{c}{2}=R,$

де R — радіус описаного кола.

У евклідовій геометрії трикутники з такими внутрішніми кутами є єдиними можливими трикутниками, які є одночасно прямокутними і рівнобедреними. У сферичній та гіперболічній геометрії існує нескінченно багато форм прямокутного рівнобедреного трикутника.

Периметр

Периметр рівнобедреного прямокутного трикутника:

$P=a+b+c=a(2+\sqrt{2}).$

Площа

Площа рівнобедреного прямокутного трикутника:

$S=\frac{a^2}{2}=\frac{c^2}{4}.$

Площу рівнобедреного прямокутного трикутника можна подати за допомогою формули Герона:

$S=\sqrt{p(p-a{)}^2(p-a\sqrt{2})},$

де p — півпериметр рівнобедреного прямокутного трикутника:

$p=\frac{P}{2}=a(1+\frac{\sqrt{2}}{2}).$

Загальні характеристики

Описане і вписане коло

Рівнобедрений прямокутний трикутник, як і всі трикутники, є біцентричним. У ньому:

$r$	$R$	$a$	$c$
$R(\sqrt{2}-1)=\frac{a}{2}(2-\sqrt{2})=\frac{c}{2}(\sqrt{2}-1)$	$\frac{r}{\sqrt{2}-1}=\frac{a}{2}\sqrt{2}=\frac{c}{2}$	$\frac{2r}{2-\sqrt{2}}=R\sqrt{2}=\frac{c}{2}\sqrt{2}$	$\frac{2r}{\sqrt{2}-1}=2R=a\sqrt{2}$

Тут r — радіус вписаного кола, R — радіус описаного кола, a — довжина катетів та c — довжина основи рівнобедреного прямокутного трикутника.

Відстань між центрами вписаного та описаного кіл d дорівнює радіусу вписаного кола r і дається рівнянням Ейлера:

$d^2=R(R-2r)=\frac{a^2}{2}(3-2\sqrt{2})$

$d=r=\frac{a}{2}(2-\sqrt{2})=a\sqrt{\frac{1}{2}(3-2\sqrt{2})}\approx 0,2928932a.$

Рівнобедрений трикутник, що має те саме описане і вписане коло і однакову відстань між їх центрами ($d=r$), має кути:

$\alpha =\beta =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{4-\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{8\sqrt{2}-11}}\approx 72,968751^{\circ },$

$\gamma =180^{\circ }-2\alpha \approx 34,062496^{\circ }.$

Теорема Піфагора для рівнобедреного прямокутного трикутника

Квадрат гіпотенузи дорівнює подвоєнному квадрату катета:

$c^2=2a^2$