Розв'язок подібності

Розв'язок певної задачі еволюції є розв'язком подібності або самоподібним розв'язком якщо його просторова конфігурація (графік) залишається подібним собі впродовж всієї еволюції. В одному вимірі, самоподібний розв'язок має таку загальну форму:

$u(x,t)=a(t)F(x/b(t))$

де, бажано, $u/a$ і $x/b$ — це безрозмі́рнісні величини.

Перетворення симетрії

Маючи функцію $u(x,t)$ незалежні і залежні змінні можна відобразити так $(x,t,u)\to (x^{\prime },t^{\prime },u^{\prime })$ або точніше $x^{\prime }=X(x,t,u),t^{\prime }=T(x,t,u),u^{\prime }=U(x,t,u)$ де $X,T,U$ це гладкі функції. Тоді кажуть, що диференціальне рівняння з частинними похідними має симетрію чи перетворення симетрії якщо $u^{\prime }(x^{\prime },t^{\prime })=u(x,t,U(X(x,t,u),T(x,t,u))$ це розв'язок якщо $u(x,t)$ є розв'язком. Інакше кажучі перетворення симетрії відображають розв'язок рівняння на його інший розв'язок.

Симетрія розтягу і самоподібний розв'язок

Якщо ДРЧП має таке перетворення симетрії $(x,t)\to (x/L,t/L^{\beta }),$ тоді розв'язок ДРЧП у вигляді $u=f(\eta ),$ де змінна подібності $\eta =x/t^{1/\beta },$ називається самоподібним розв'язком. Приактичною перевагою ідеї самоподібних розв'язків є те, що функція, яку треба знайти, $f$ має лише одну незалежну змінну $\eta ,$ і зазвичай задовольняє звичайному диференціальному рівнянню. Однак, нема гарантій, що такий розв'язок існує.

Зауважимо, що самоподібний розв'язок інваріантний щодо перетворення симетрії:

$u(x/L,t/L^{\beta })=f\left(\frac{x/L}{(t/L^{\beta }{)}^{1/\beta }}\right)=f\left(\frac{x}{t^{1/\beta }}\right)=u(x,t).$

Правильним є й зворотнє твердження: кожний розв'язок інваріантний щодо перетворення симетрії — мусить бути функцією однієї змінної $\eta .$ Це можна показати використовуючи ін'єктивну заміну змінних

$\eta =\frac{x}{t^{1/\beta }},\xi =xt.$

Припустимо, що ми маємо розв'язок $w(\eta ,\xi )$ інваріантний щодо перетворення симетрії. Перетворення має такий вигляд $(\eta ,\xi )\to (\eta ,\xi /L^{\beta +1}),$ тобто

$w(\eta ,\xi )=w(\eta ,\xi /L^{\beta +1}).$

Диференціюємо щодо $\xi$ і покладаємо $L=1.$ В результаті маємо:

$w(\eta ,\xi {)}_{\xi }=0,$

це означає, що $w$ залежить лише від $\eta .$

Приклад

$u_t=D{u}_{xx},-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }.$

Можна перевірити, що $u(x/L,t/L^{\beta })$ також є розв'язком і $\beta =2.$ Отже, ми шукаємо самоподібний розв'язок у форму $u=f(\eta ),$ де $\eta =x/\sqrt{t}.$ Підставляння дає

$D{f}^{″}(\eta )+\frac{\eta }{2}{f}^{\prime }(\eta )=0.$

Використовуючи метод інтегрувального множника можемо отримати

$f^{\prime }(\eta )=C{e}^{-n^2/4D},$

і, отже,

$f(\eta )=C_1\text{erf}(\eta /4D)+C_2,\text{erf}(x)\equiv \frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-y^2}dy,$

де $C_1,C_2,C_3-$ це довільні сталі.