Регресія Пуассона

Шаблон:Регресійний аналізУ статистиці регресія Пуассона — узагальнена лінійна модель регресійного аналізу, який використовують для моделювання даних та таблиць непередбачених ситуацій. Регресія Пуассона передбачає, що залежна змінна Y має розподіл Пуассона, і припускає, що логарифм її математичного сподівання може бути змодельовано лінійною комбінацією невідомих параметрів. Модель регресії Пуассона іноді називається лог-лінійною моделлю, особливо якщо вона використовується для моделювання таблиці непередбачених ситуацій.

Негативна біноміальна регресія є узагальненням регресії Пуассона, оскільки вона послаблює сильне припущення, що дисперсія дорівнює середньому значенню, зробленому в моделі Пуассона. Традиційна негативна біноміальна регресійна модель, широко знана як NBA. Вона базується на Пуассон-гамма суміш розподілі. Ця модель популярна, оскільки вона моделює гетерогенність Пуассона за допомогою гамма-розподілу.

Регресійні моделі

Якщо $𝐱\in {ℝ}^n$ є вектором незалежних змінних, то модель приймає форму

$\log (\mathrm{E}(Y\mid 𝐱))=\alpha +{\mathit{\beta }}^{\prime }𝐱,$

де $\alpha \in ℝ$ і $\mathit{\beta }\in {ℝ}^n$.Також цю формулу можна записати як

$\log (\mathrm{E}(Y\mid 𝐱))={\mathit{\theta }}^{\prime }𝐱,$

де x є (n+1) розмірний вектор, який складається з n незалежних змінних, об'єднаних у вектор одиниць.

Тут θ — це $\alpha \cup \beta$.

Таким чином, при заданій регресійній моделі Пуассона θ та вхідному векторі x, передбачуваний середній асоційований розподіл Пуассона, який дано через

$\mathrm{E}(Y\mid 𝐱)=e^{{\mathit{\theta }}^{\prime }𝐱}.$

Якщо Y_i є незалежним спостереженням з відповідними значеннями x_i змінних предиктора, то θ можна оцінити за максимальною оцінкою правдоподібності. У максимальній оцінці правдоподібності відсутній вираз із замкнутою формою.