Раціональний кубоїд

Раціональний кубоїд зі сторонами Шаблон:Math стикаються з діагоналями Шаблон:Math

Раціональний кубоїд (або цілочисельна цеглина, або ідеальний кубоїд) — прямокутний паралелепіпед, у якого всі сім основних величин (три ребра, три лицьових діагоналі і просторова діагональ) є цілими числами. Інакше кажучи, раціональний кубоїд — цілочисельний розв'язок системи діофантових рівнянь.

$\{\begin{array}{c}{a}^2+b^2=d^2\\ a^2+c^2=e^2\\ b^2+c^2=f^2\\ a^2+b^2+c^2=g^2\end{array}$

Досі невідомо, чи існує такий паралелепіпед. Комп'ютерний перебір показав, що якщо ідеальний кубоїд існує:

• найменше ребро має бути більшим за 5 × 10¹¹.
• непарне ребро має бути більшим за 2.5 × 10¹³.
• просторова діагональ має бути більшою за 9 × 10¹⁵.

Втім, знайдено безліч «майже цілочисельних» паралелепіпедів, у яких цілочисельними є всі величини, крім однієї:

• Edge кубоїд — кубоїд, у якого одне з ребер є нецілим числом. Найменший: із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math, просторовою діагоналлю Шаблон:Math;
• Face кубоїд — кубоїд, у якого одна з лицьових діагоналей є нецілим числом. Найменший: із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math, просторовою діагоналлю Шаблон:Math;
• Body кубоїд (паралелепіпед Ейлера, див. нижче) — кубоїд, у якого просторова діагональ є нецілим числом. Найменший: із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math, просторовою діагоналлю Шаблон:Sqrt;
• Косокутні паралелепіпеди, у яких всі сім величин цілі. При цьому досить одного непрямого кута.

Також досі невідомо, чи існує раціональний прямокутний паралелепіпед у комплексних числах (Perfect Complex кубоїд). Втім, знайдено безліч «майже цілочисельних» паралелепіпедів у комплексних числах, у яких цілочисельними є всі величини, крім однієї:

• Imaginary кубоїд — кубоїд, у якого одне з ребер є комплексним числом. Найменший: із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math, просторовою діагоналлю Шаблон:Math;
• Twilight кубоїд — кубоїд, у якого окрім ребра(ер), одна із лицьових діагоналей є комплексним числом. Найменший: із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math, просторовою діагоналлю Шаблон:Math;
• Midnight кубоїд — кубоїд, у якого окрім ребра(ер), лицевої(их) діагоналі(ей), ще й просторова діагональ є комплексним числом. Найменший: із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math, просторова діагональ Шаблон:Math;

У 2005 році тбіліський студент Лаша Маргішвілі запропонував доведення, що цілочисельний кубоід не існує — однак на 2009 рік робота так і не пройшла перевірку незалежними вченими.

У вересні 2017 року проєкт розподілених обчислень yoyo@home (http://www.rechenkraft.net/yoyo/ Шаблон:Webarchive) розпочав підпроєкт Perfect Cuboid, що займається пошуком кубоїдів у натуральних числах: Perfect, Edge, Face (повністю), а також деяких видів кубоїдів у комплексних числах (Perfect Complex, Imaginary та Twilight). Станом на жовтень 2018 року підпроєкт стверджує, що якщо ідеальний кубоїд існує, його просторова діагональ має бути більша за 2⁵³ ≈ 9 × 10¹⁵.

Паралелепіпед Ейлера

Прямокутний паралелепіпед, у якого цілочисельні ребра і лицьові діагоналі, називається ейлеровим. Найменший з паралелепіпедів Ейлера — з ребрами (44, 117, 240) та лицьовими діагоналями (125, 244, 267).

Деякі інші маленькі паралелепіпеди Ейлера в форматі: ребра Шаблон:Math — лицьові діагоналі Шаблон:Math:

(	85,	132,	720	) — (	157,	725,	732	)
(	140,	480,	693	) — (	500,	707,	843	)
(	160,	231,	792	) — (	281,	808,	825	)
(	187,	1020,	1584	) — (	1037,	1595,	1884	)
(	195,	748,	6336	) — (	773,	6339,	6380	)
(	240,	252,	275	) — (	348,	365,	373	)
(	429,	880,	2340	) — (	979,	2379,	2500	)
(	495,	4888,	8160	) — (	4913,	8175,	9512	)
(	528,	5796,	6325	) — (	5820,	6347,	8579	)

Ейлер описав два сімейства таких паралелепіпедів (звідси назва). Втім, повного опису всіх паралелепіпедів Ейлера також немає.

Відомі такі вимоги до ейлерового паралелепіпеда (а значить, і до цілочисельної цеглини) :

• Одне ребро ділиться на 4, друге ділиться на 16, третє непарне (якщо, звичайно, він примітивний — тобто, НСД (a, b, c) = 1).
• Одне ребро ділиться на 3 і ще одне — на 9.
• Одне ребро ділиться на 5.
• Одне ребро ділиться на 11.
• Одне ребро ділиться на 19.
• Одне ребро або просторова діагональ діляться на 13.
• Одне ребро, лицьова або просторова діагональ діляться на 17.
• Одне ребро, лицьова або просторова діагональ діляться на 29.
• Одне ребро, лицьова або просторова діагональ діляться на 37.

Додатково:

• Просторова діагональ примітивного ідеального кубоїда має бути добутком виключно простих n виду Шаблон:Math

Прямокутний паралелепіпед у комплексних числах

Відомі такі властивості прямокутних паралелепіпедів у комплексних числах:

• Існування будь-якого Face кубоїда тягне за собою існування 2-х різних Imaginary кубоїдів. Наприклад:

Face кубоїд із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math, просторова діагональ Шаблон:Math тягне за собою:

1. Imaginary кубоїд із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math, просторовою діагоналлю Шаблон:Math;
2. Imaginary кубоїд із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math, просторовою діагоналлю Шаблон:Math.

• Існування будь-якого Edge, Face, Body або Imaginary кубоїда тягне за собою існування 3-х різних Twilight кубоїда. Наприклад:

Face кубоїд із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math, просторовою діагоналлю Шаблон:Math тягне за собою:

1. Twilight кубоїд із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math, просторовою діагоналлю Шаблон:Math;
2. Twilight кубоїд із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math, просторовою діагоналлю Шаблон:Math;
3. Twilight кубоїд із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math, просторовою діагоналлю Шаблон:Math.

• Існування будь-якого Edge, Face, Body, Imaginary або Twilight кубоїда тягне за собою існування Midnight кубоїда, що утворюється шляхом добутку усіх його величин на уявну одиницю $i$.

• Існування будь-якого Раціонального кубоїда у натуральних числах тягне за собою існування ще 7 різних Раціональних кубоїдів у комплексних числах (3 Perfect Complex та 4 Perfect Midnight кубоїдів):

Припустимо, що існує Ідеальний кубоїд із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math та просторовою діагоналлю Шаблон:Math, тоді мають місце також:

1. Perfect Complex із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math та просторовою діагоналлю Шаблон:Math;
2. Perfect Complex із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math та просторовою діагоналлю Шаблон:Math;
3. Perfect Complex із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math та просторовою діагоналлю Шаблон:Math;
4. Perfect Midnight із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math та просторовою діагоналлю Шаблон:Math;
5. Perfect Midnight із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math та просторовою діагоналлю Шаблон:Math;
6. Perfect Midnight із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math та просторовою діагоналлю Шаблон:Math;
7. Perfect Midnight із ребрами Шаблон:Math, лицьовими діагоналями Шаблон:Math та просторовою діагоналлю Шаблон:Math;

Див. також

• Відкриті математичні проблеми
• Піфагорова четвірка