Поширення невизначеності

Поши́рення неви́значеності (або поширення похибки) — у статистиці та чисельних методах, це вплив невизначеності змінних (або похибок, точніше випадкових помилок) на невизначеність функції, що ґрунтується на них.

Коли змінні є значеннями експериментальних вимірювань, вони мають невизначеності через обмеження вимірювань (наприклад, точність приладу), які поширюються через комбінування змінних у функції.

Невизначеність u може бути виражена кількома способами. Вона може бути визначена абсолютною похибкою Шаблон:Math. Невизначеність також можна визначити відносною похибкою Шаблон:Math, яка зазвичай записується у відсотках. Найчастіше невизначеність величини кількісно визначають за стандартним відхиленням Шаблон:Mvar, яке є додатним квадратним коренем із дисперсії. Тоді значення величини та її похибка виражаються як інтервал Шаблон:Math.

Однак найзагальніший спосіб охарактеризувати невизначеність полягає в визначенні її розподілу ймовірностей. Якщо розподіл ймовірностей змінної відомий або його можна припустити, теоретично можна отримати будь-яку його статистику. Зокрема, можна вивести довірчий інтервал для опису області, в якій справжнє значення змінної може знаходитись.

Якщо невизначеності корелюють, то коваріацію необхідно брати до уваги. Кореляція може виникати з двох різних джерел. По-перше, похибки вимірювання можуть бути корельовані. По-друге, коли базові значення корелюють в генеральній сукупності, невизначеності в середніх значеннях будуть корельовані.

Приклади

Для дійсних функцій однієї змінної $A,B$ зі стандартними відхиленнями ${\sigma }_A,{\sigma }_B,$ коваріацією ${\sigma }_{AB}={\rho }_{AB}{\sigma }_A{\sigma }_B,$ і кореляцією ${\rho }_{AB}.$ Дійсні коефіцієнти $a$ and $b$ є відомими точно, тобто, ${\sigma }_a={\sigma }_b=0.$

В стовбцях справа, $A$ та $B$ є математичними сподіваннями, а $f$ — функцією, обчисленою на цих значеннях.

Function	Дисперсія	Стандартне відхилення
$f=aA$	${\sigma }_f^2=a^2{\sigma }_A^2$	${\sigma }_f=|a|{\sigma }_A$
$f=A+B$	${\sigma }_f^2={\sigma }_A^2+{\sigma }_B^2+2{\sigma }_{AB}$	${\sigma }_f=\sqrt{{\sigma }_A^2+{\sigma }_B^2+2{\sigma }_{AB}}$
$f=A-B$	${\sigma }_f^2={\sigma }_A^2+{\sigma }_B^2-2{\sigma }_{AB}$	${\sigma }_f=\sqrt{{\sigma }_A^2+{\sigma }_B^2-2{\sigma }_{AB}}$
$f=aA+bB$	${\sigma }_f^2=a^2{\sigma }_A^2+b^2{\sigma }_B^2+2ab{\sigma }_{AB}$	${\sigma }_f=\sqrt{a^2{\sigma }_A^2+b^2{\sigma }_B^2+2ab{\sigma }_{AB}}$
$f=aA-bB$	${\sigma }_f^2=a^2{\sigma }_A^2+b^2{\sigma }_B^2-2ab{\sigma }_{AB}$	${\sigma }_f=\sqrt{a^2{\sigma }_A^2+b^2{\sigma }_B^2-2ab{\sigma }_{AB}}$
$f=AB$	${\sigma }_f^2\approx f^2[{\left(\frac{{\sigma }_A}{A}\right)}^2+{\left(\frac{{\sigma }_B}{B}\right)}^2+2\frac{{\sigma }_{AB}}{AB}]$	${\sigma }_f\approx \left|f\right|\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_A}{A}\right)}^2+{\left(\frac{{\sigma }_B}{B}\right)}^2+2\frac{{\sigma }_{AB}}{AB}}$
$f=\frac{A}{B}$	${\sigma }_f^2\approx f^2[{\left(\frac{{\sigma }_A}{A}\right)}^2+{\left(\frac{{\sigma }_B}{B}\right)}^2-2\frac{{\sigma }_{AB}}{AB}]$	${\sigma }_f\approx \left|f\right|\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_A}{A}\right)}^2+{\left(\frac{{\sigma }_B}{B}\right)}^2-2\frac{{\sigma }_{AB}}{AB}}$
$f=\frac{A}{A+B}$	${\sigma }_f^2\approx \frac{f^2}{{(A+B)}^2}(\frac{B^2}{A^2}{\sigma }_A^2+{\sigma }_B^2-2\frac{B}{A}{\sigma }_{AB})$	${\sigma }_f\approx \left|\frac{f}{A+B}\right|\sqrt{\frac{B^2}{A^2}{\sigma }_A^2+{\sigma }_B^2-2\frac{B}{A}{\sigma }_{AB}}$
$f=a{A}^b$	${\sigma }_f^2\approx {\left(ab{A}^{b-1}{\sigma }_A\right)}^2={\left(\frac{fb{\sigma }_A}{A}\right)}^2$	${\sigma }_f\approx \left|ab{A}^{b-1}{\sigma }_A\right|=\left|\frac{fb{\sigma }_A}{A}\right|$
$f=a\ln (bA)$	${\sigma }_f^2\approx {\left(a\frac{{\sigma }_A}{A}\right)}^2$	${\sigma }_f\approx \left|a\frac{{\sigma }_A}{A}\right|$
$f=a{\log }_{10}(bA)$	${\sigma }_f^2\approx {\left(a\frac{{\sigma }_A}{A\ln (10)}\right)}^2$	${\sigma }_f\approx \left|a\frac{{\sigma }_A}{A\ln (10)}\right|$
$f=a{e}^{bA}$	${\sigma }_f^2\approx f^2{\left(b{\sigma }_A\right)}^2$	${\sigma }_f\approx \left|f\right|\left|\left(b{\sigma }_A\right)\right|$
$f=a^{bA}$	${\sigma }_f^2\approx f^2(b\ln (a){\sigma }_A{)}^2$	${\sigma }_f\approx \left|f\right||b\ln (a){\sigma }_A|$
$f=a\sin (bA)$	${\sigma }_f^2\approx {[ab\cos (bA){\sigma }_A]}^2$	${\sigma }_f\approx |ab\cos (bA){\sigma }_A|$
$f=a\cos \left(bA\right)$	${\sigma }_f^2\approx {[ab\sin (bA){\sigma }_A]}^2$	${\sigma }_f\approx |ab\sin (bA){\sigma }_A|$
$f=a\tan \left(bA\right)$	${\sigma }_f^2\approx {[ab{\sec }^2(bA){\sigma }_A]}^2$	${\sigma }_f\approx |ab{\sec }^2(bA){\sigma }_A|$
$f=A^B$	${\sigma }_f^2\approx f^2[{\left(\frac{B}{A}{\sigma }_A\right)}^2+{(\ln (A){\sigma }_B)}^2+2\frac{B\ln (A)}{A}{\sigma }_{AB}]$	${\sigma }_f\approx \left|f\right|\sqrt{{\left(\frac{B}{A}{\sigma }_A\right)}^2+{(\ln (A){\sigma }_B)}^2+2\frac{B\ln (A)}{A}{\sigma }_{AB}}$
$f=\sqrt{a{A}^2\pm b{B}^2}$	${\sigma }_f^2\approx {\left(\frac{A}{f}\right)}^2{a}^2{\sigma }_A^2+{\left(\frac{B}{f}\right)}^2{b}^2{\sigma }_B^2\pm 2ab\frac{AB}{f^2}{\sigma }_{AB}$	${\sigma }_f\approx \sqrt{{\left(\frac{A}{f}\right)}^2{a}^2{\sigma }_A^2+{\left(\frac{B}{f}\right)}^2{b}^2{\sigma }_B^2\pm 2ab\frac{AB}{f^2}{\sigma }_{AB}}$