Перетворення годографа

Перетворення годографа — частинний випадок точкових перетворень, які використовуються для спрощення нелінійних рівнянь з частинними похідними та їх систем.

Визначення

Для рівняння з двома незалежними змінними

$x,t$ та шуканою функцією

$w=w(x,t)$ перетворення годографа полягає в тому, що розв'язок шукається в неявному вигляді ($x,t$ можна переставити місцями):

$x=x(t,w)$,тобто $t,w$ стають незалежними змінними, а $x$ - залежною.

Перетворення годографа не змінює порядок рівняння та є точковим перетворенням. Його можна записати в еквівалентному вигляді:

$x=w^{\prime },t=t^{\prime },w=x^{\prime }$.

Приклад застосування перетворення годографа

• Нелінійне рівняння другого порядку

$w_t(w_x{)}^2=a{w}_{xx}$

зводиться до лінійного рівняння теплопровідності

$x_t=a{x}_{ww}$.

Див. також

• Група Лі
• Теорія груп

Джерела

Polyanin A.D., Zaitsev V.F., Handbook of ordinary differential equations. Exact solutions, Nauka(1995),560 pp.