Паралельне поле

Паралельне поле — тензорне поле $A$ на многовиді $M$ з лінійної зв'язністю $\mathrm{\nabla }$, інваріантне відоносно паралельного перенесення уздовж кривих на $M$. Це означає, що для будь-яких точок $p,q\in M$ тензор $A_p$ (значення тензорного поля $A$ в точці $p$) при паралельному перенесенні в точку $q$ вздовж будь-якої гладкої кривої, що з'єднує точки $p$ і $q$, переходить в тензор $A_q$.

Поле тензорів $A$ буде паралельним тоді і тільки тоді, коли його коваріантна похідна за напрямком будь-якого векторного поля $X$ тотожно дорівнює нулю: ${\mathrm{\nabla }}_{X}A=0$ або, інакше, коли коваріантний диференціал $\mathrm{\nabla }A$ поля $A$ дорівнює нулю.

Джерела

• Chern S. S., в кн.: Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz, N. Y., 1957, p. 103—2t;
• Berger M., «Bull. Soc. math. France», 1955, t. 83, p. 279- 330;
• Kobayashi S., Transformation groups in differential geometry, В. — Hdlb.—N. Y., 1972;
• Kobayashi S., Nagano Т., «J. Math. Soc. Japan», 19G5, v. 17, Я" 1, p. 84—101.