Парадокс Буралі-Форті

Парадокс Буралі-Форті — в теорії множин демонструє, що припущення про існування множини всіх порядкових чисел веде до суперечностей і, отже, суперечливою є теорія, в якій побудова такої множини можлива (1897).

Формулювання

У математичній літературі зустрічаються різні формулювання, що спираються на різну термінологію і можливий набір відомих теорем. Ось одне з можливих формулювань.

Припустимо, що $\mathrm{\Omega }$ - множина усіх порядкових чисел, тоді множина-сума ∑($\mathrm{\Omega }$) зберігає властивості порядкового числа і є порядковим числом. Уявімо деяке число ∑($\mathrm{\Omega }$) + 1; тоді (∑($\mathrm{\Omega }$) + 1) > ∑($\mathrm{\Omega }$). Проте оскільки ∑($\mathrm{\Omega }$) є порядковим числом і зберігає властивості порядкових чисел, то ∑($\mathrm{\Omega }$) + 1 є елементом $\mathrm{\Omega }$, а отже (∑($\mathrm{\Omega }$) + 1) < ∑($\mathrm{\Omega }$). Це твердження суперечить встановленій нами раніше нерівності (∑($\mathrm{\Omega }$) + 1) > ∑($\mathrm{\Omega }$), тому усе твердження є суперечливим, а отже суперечливою є і теорія, що допускає таке твердження.

Історія

Парадокс був виявлений Чезаре Буралі-Форті в 1897 року і виявився одним з перших парадоксів, які показали, що наївна теорія множин суперечлива, а отже, непридатна для потреб математики. Неіснування безлічі всіх порядкових чисел суперечить концепції наївної теорії множин, яка дозволяє побудову множин з довільною властивістю елементів, тобто термів виду «множина всіх $x$ таких, що $P$» ($\{x\mid P\}$).

Сучасна аксіоматична теорія множин накладає суворі обмеження на вид умови $P$, за допомогою якого можна утворювати множини. У аксіоматичних системах типу Геделя — Бернайса дозволяється вираження терми $\{x\mid P\}$ для довільних $P$, але із застереженням, що він може виявитися не множиною, а класом.

Див. також

• Парадокс Кантора
• Парадокс Расселла

Джерела

• Шаблон:Хаусдорф.Теория множеств
• Шаблон:Куратовский.Мостовский.Теория множеств