Одновимірне стаціонарне рівняння Шредінгера

Одновимірне стаціонарне рівняння Шредінгера — лінійне звичайне диференціальне рівняння другого порядку виду

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}+U(x)\psi (x)=E\psi (x),(1)$

де $\hslash$ — стала Планка, $m$ — маса частинки, $U(x)$ — потенціальна енергія, $E$ — повна енергія, $\psi (x)$ — хвильова функція. Для повної постановки задачі про знаходження рішення $(1)$ треба задати також граничні умови, які представляються в загальному вигляді для інтервалу $[a,b]$

${\alpha }_1\psi (a)+{\beta }_1\frac{d\psi (a)}{dx}={\gamma }_1,(2)$ ${\alpha }_2\psi (b)+{\beta }_2\frac{d\psi (b)}{dx}={\gamma }_2,(3)$

де ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2,{\gamma }_1,{\gamma }_2$ — константи. Квантова механіка розглядає рішення рівняння $(1)$, з граничними умовами $(2)$ та $(3)$.

Загальні властивості

Виходячи з фізичного змісту хвильова функція має бути однозначною та неперервною функцією своїх координат. Умова нормування з'являється з інтерпретації квадрата хвильової функції як імовірності.

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}|\psi (x){|}^{2}dx=1.(0a)$

Звідси випливає, зокрема, що хвильова функція має досить швидко спадати з віддаленням від початку відліку. В одновимірному випадку, якщо хвильова функція

$\psi (x)\sim 1/x^{\alpha }$

при

$x⟶+\mathrm{\infty }$

, то показник ступеня відповідно до вираження

${\int }^{+\mathrm{\infty }}|\psi (x){|}^{2}dx={\int }^{+\mathrm{\infty }}1/x^{2\alpha }dx=1/x^{2\alpha -1}{\mid }^{+\mathrm{\infty }}⟶0,(0b)$

задовольняти нерівності

$\alpha >1/2.$

Інтегрування рівняння $(1)$ в малій околиці точки a дає додаткові умови на похідну хвильової функції

$\underset{a-\epsilon }{\overset{a+\epsilon }{\int }}\frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}dx=\frac{2m}{{\hslash }^2}\underset{a-\epsilon }{\overset{a+\epsilon }{\int }}(U(x)-E)\psi (x)dx,(0c)$

з якого в межі $\epsilon ⟶0$ виходить

${\frac{d\psi (x)}{dx}|}_{a+0}-{\frac{d\psi (x)}{dx}|}_{a-0}=0,(0d)$

якщо потенційна енергія має в точці a розриви першого роду (кінцеві стрибки). Якщо ж в точці a є Розрив другого роду, наприклад, потенційна енергія описується дельта-функцією ($U(x)=-G\delta (x-a)$), то умова $(0c)$ набирає вигляду

${\frac{d\psi (x)}{dx}|}_{a+0}-{\frac{d\psi (x)}{dx}|}_{a-0}=\frac{2m}{{\hslash }^2}(-G)\psi (a).(0e)$

Якщо енергетичний спектр невироджений, то існує тільки одна хвильова функція, що є рішенням рівняння Шредінгера для даної енергії, причому вона визначена з точністю до фази. У разі, коли потенціал симетричний, то хвильові функції будуть або парними, або непарними і парність хвильових функцій чергується.

Точні аналітичні рішення

У загальному вигляді рішення рівняння $(1)$, з граничними умовами $(2)$ і $(3)$ не існує, але при деякому виборі потенційної енергії можна знайти точні рішення. Вони грають важливу роль в побудові аналітичних наближених рішень рівняння $(1)$.

Рішення для вільної частинки — плоскі хвилі

У вільному просторі, де відсутні потенціали рівняння $(1)$ приймає особливо простий вигляд

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}=E\psi (x).(4)$

Для цього рівняння рішенням є суперпозиція плоских хвиль

$\psi (x)=C_1{e}^{i\sqrt{2mE}x/\hslash }+C_2{e}^{-i\sqrt{2mE}x/\hslash }.(5)$

Тут енергія $E$ може приймати всі значення вище нуля, тому говорять, що власне значення належить безперервному спектру. Константи $C_1$ та $C_2$ визначаються з умови перенормування.

Рішення для частинки в одновимірній потенційній ямі з нескінченно високими стінками

Якщо помістити частку в потенційну яму, то безперервний спектр енергій стає дискретним. Для рівняння $(1)$ з потенційною енергією $U(x)$, яка дорівнює нулю в інтервалі $(0,a)$ і стає нескінченною в точках $0$ та $a$. На цьому інтервалі Рівняння Шредінгера збігається з $(4)$. Граничні умови $(2)$, $(3)$ для хвильової функції запишуться у вигляді

$\psi (0)=0,(6)$ $\psi (a)=0.(7)$

Шукаємо рішення у вигляді $A\sin (\sqrt{2mE/{\hslash }^2}x+\delta )$. З урахуванням граничних умов одержуємо для власних значень енергії $E_n$

$E_n=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}{n}^2(8)$

і власних функцій з урахуванням нормування

${\psi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{\pi n}{a}x.(9)$

Чисельні рішення

Більш-менш складний потенціал у рівнянні $(1)$ вже не дозволяє знайти аналітичний розв'язок у загальному випадку (хоча для окремих випадків такий розв'язок знайдено, наприклад, для задачі двох тіл), тому для розв'язку рівняння Шредінгера застосовують чисельні методи.

Одним з найпростіших є метод скінченних різниць, в якому рівняння

$(1)$

замінюється рівнянням в кінцевих різницях на обраній сітці з вузлами в точках

$x_n$

, а саме, замінюючи другу похідну за формулою

$\frac{d^{2}y(x)}{d{x}^2}=\frac{y_{n-1}-2y_n+y_{n+1}}{h^2},(10)$

де $h$ — Крок дискретизації, $n$ — номер вузла сітки, отримаємо

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{y_{n-1}-2y_n+y_{n+1}}{h^2}+U_n{y}_n=E{y}_n,(11)$

де $U_n$ — значення потенційної енергії $U(x)$ на вузлах сітки. Нехай $a$ деякий характерний масштаб потенціалу, тоді рівняння $(11)$ можна записати в безрозмірному вигляді

$-y_{n-1}+(2+h^2\frac{2m{a}^2{U}_n}{{\hslash }^2})y_n-y_{n+1}=h^2\frac{2m{a}^{2}E}{{\hslash }^2}{y}_n.(12)$

Якщо позначити безрозмірні величини потенційної енергії $v_n=\frac{2m{a}^2{U}_n}{{\hslash }^2}$ і власні значення $e=h^2\frac{2m{a}^{2}E}{{\hslash }^2}$, то рівняння $(12)$ спроститься

$-y_{n-1}+(2+h^2{v}_n-e)y_n-y_{n+1}=0.(13)$

Під останнім виразом треба розуміти систему рівнянь для всіх можливих індексів $n$.

Література

• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М. Мир, 1990. — 720с. ISBN 5-03-001311-3
• Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. Изд-во МГУ, 1983.
• Калиткин. Н. Н. Численные методы. М., Наука, 1978.

Див. також

• Яма з нескінченними стінками