Обернений образ пучка

Обернений образ пучка — коваріантна конструкція у теорії пучків, що в певному значенні є оберненою до побудови прямого образа пучка.

Означення

Нехай дано пучок $𝒢$ на $Y$ і потрібно перенести $𝒢$ на $X$, використовуючи неперервне відображення $f:X\to Y$ подібно до того, як будується прямий образ пучка.

Якщо спробувати імітувати визначення прямого образу взявши

$f^{-1}𝒢(U)=𝒢(f(U)),$

для кожної відкритої множини $U$ в $X$, то відразу виникає проблема: $f(U)$ не обов'язково є відкритою множиною. Найкраще, що можна зробити — наблизити його відкритими множинами, і навіть в цьому випадку одержується передпучок, а не пучок. За означенням $f^{-1}𝒢$ є пучком асоційованим із передпучком

$U\mapsto \underset{V\supseteq f(U)}{\underrightarrow{\lim }}𝒢(V).$

Тут $U$ — відкрита підмножина $X$ і індуктивна границя береться по всіх відкритих підмножини $V$ простору $Y$, що містять $f(U)$.

Наприклад, якщо $f$ — вкладення точки $y$ в $Y$, то $f^{-1}(ℱ)$ — росток $ℱ$ в цій точці.

Існування відображень обмеження, як і функторіальність оберненого образа, випливають із універсальної властивості індуктивних границь.

Альтернативна побудова

Еквівалентно, обернений образ можна побудувати за допомогою етальних (пучкових) просторів пучків. В тих же позначеннях, що і вище, нехай LG позначає етальний простір пучка G, тобто диз'юнктне об'єднання ростків $\underset{y\in Y}{⨆}{𝒢}_y$із топологією для якої базою є підмножини виду $s_y,s\in 𝒢(V),$ де $V\subseteq Y$— відкрита підмножина у $Y.$Тоді проєкція $p:L𝒢\to Y:{𝒢}_y\ni a\to y$ є локальним гомеоморфізмом.

Нехай тепер $E=\{(e,x)\in L𝒢\times X:p(e)=f(x)\}$із топологією індукованою топологією прямого добутку. Тоді проєкція $p^{\prime }:E\to X$ є локальним гомеоморфізмом і E є етальним простором для X. Асоційований із ним пучок і є оберненим образом $f^{-1}𝒢.$

Більш конкретно перетинами на відкритій підмножині $U\subseteq X$є неперервні відображення $\sigma :U\to E$ для яких $p^{\prime }\circ \sigma ={\mathrm{Id}}_U.$Еквівалентно, це такі відображення $\tau :U\to E$для яких $p\circ \tau =f{|}_U.$

Обернений образ пучків модулів

Коли розглядаються морфізм локально окільцьованих просторів $f:X\to Y$, наприклад схем в алгебричній геометрії , часто працюють з пучками ${𝒪}_Y$-модулів, де ${𝒪}_Y$ — структурний пучок $Y$. Тоді функтор $f^{-1}$ введений вище не підходить, оскільки результат його застосування, взагалі кажучи, не є пучком ${𝒪}_X$-модулів. Щоб виправити це, в цій ситуації для пучка ${𝒪}_Y$-модулів $𝒢$ його обернений образ задається як

$f^{*}𝒢:=f^{-1}𝒢{\otimes }_{f^{-1}{𝒪}_Y}{𝒪}_X$.

Властивості

• Для точки $x\in X$ , маємо $(f^{-1}𝒢{)}_x\cong {𝒢}_{f(x)}$.
• $f^{-1}$ — точний функтор.
• $f^{*}$, взагалі кажучи, тільки точний справа. Якщо $f^{*}$ точний, f називається плоским.
• $f^{-1}$ є спряженим зліва до функтора прямого образа $f_{\ast }$, тобто існує натуральний ізоморфізм

${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝐒𝐡(X)}(f^{-1}𝒢,ℱ)={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝐒𝐡(Y)}(𝒢,f_{*}ℱ)$.

Проте морфізми $𝒢\to f_{*}{f}^{-1}𝒢$ і $f^{-1}{f}_{*}ℱ\to ℱ$ майже ніколи не є ізоморфізмами. Наприклад, якщо $i:Z\to Y$ позначає вкладення замкнутої підмножини, росток пучка $i_{*}{i}^{-1}𝒢$ в точці $y\in Y$ є ізоморфним до ${𝒢}_y$ якщо $y$ належить $Z$ і є рівним $0$ в іншому випадку.

• Подібне до попереднього пункту твердження є справедливим для пучків модулів, якщо замінити $i^{-1}$ на $i^{*}$.

Див. також

• Індуктивна границя
• Прямий образ пучка
• Пучок (математика)

Література

• Iversen, Birger, Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3.
• Шаблон:Citation