Нерівність Чебишова для сум чисел

Для нерівності в теорії ймовірностей — див. Нерівність Чебишова.

Нерівність Чебишова для сум чисел, названа на честь Пафнутія Львовича Чебишова, стверджує, що якщо

a_{1} ⩾ a_{2} ⩾ \dots ⩾ a_{n}

і

b_{1} ⩾ b_{2} ⩾ \dots ⩾ b_{n},

то

\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} ⩾ (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k}) (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} b_{k}) .

Аналогічно, якщо

a_{1} ⩾ a_{2} ⩾ \dots ⩾ a_{n}

і

b_{1} ⩽ b_{2} ⩽ \dots ⩽ b_{n},

то

\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} ⩽ (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k}) (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} b_{k}) .

Доведення

Нерівність Чебишова легко вводиться з нерівності перестановок:

Припустимо, що

a_{1} ⩾ a_{2} ⩾ \dots ⩾ a_{n}

і

b_{1} ⩾ b_{2} ⩾ \dots ⩾ b_{n} .

Зважаючи на нерівність перестановок вираз

a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n}

є максимально можливим значенням скалярного добутку даних послідовностей. Додаючи нерівності

a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n}

a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n} ⩾ a_{1} b_{2} + a_{2} b_{3} + \dots + a_{n} b_{1}

a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n} ⩾ a_{1} b_{3} + a_{2} b_{4} + \dots + a_{n} b_{2}

⋮

a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n} ⩾ a_{1} b_{n} + a_{2} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n - 1}

одержуємо

n (a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n}) ⩾ (a_{1} + \dots + a_{n}) (b_{1} + \dots + b_{n});

або, розділивши на $n^{2}$ :

\frac{(a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n})}{n} ⩾ \frac{(a_{1} + \dots + a_{n})}{n} \cdot \frac{(b_{1} + \dots + b_{n})}{n} .

Існує також неперервний аналог нерівності Чебишова:

Якщо f(x) і g(x) — дійсні інтегровні на [0,1] функції, одночасно зростаючі чи спадні, то

\int_{0}^{1} f (x) g (x) d x ⩾ \int_{0}^{1} f (x) d x \int_{0}^{1} g (x) d x .