Нерівність Бішопа — Громова

Нерівність Бішопа — Громова — теорема порівняння в рімановій геометрії. Є ключовим твердженням у доведенні теореми Громова про компактність.

Нерівність названа на честь Шаблон:Нп та Михайла Громова.

Формулювання

Нехай $M$ — повний n-вимірний ріманів многовид з обмеженою знизу кривиною Річчі, тобто

$\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}⩾(n-1)K$

для сталої $K\in ℝ$.

Позначимо через $B(p,r{)}_M$ кулю радіуса r навколо точки p, визначену відносно ріманової функції відстані.

Нехай ${𝕄}^n(K)$ позначає n-вимірний модельний простір. Тобто ${𝕄}^n(K)$ — повний n-вимірний однозв'язний простір сталої секційної кривини $K$. Таким чином,

• ${𝕄}^n(K)$ є n-сферою радіуса $1/\sqrt{K}$, якщо $K>0$, або
• n-вимірним евклідовим простором, якщо $K=0$, або
• гіперболічним простором з кривиною $K<0$.

Тоді для будь-яких $p\in M$ і $\tilde{p}\in {𝕄}^n(K)$ функція

$\varphi (r)=\frac{\mathrm{Vol}B(p,r{)}_M}{\mathrm{Vol}B(\tilde{p},r{)}_{{𝕄}^n(K)}}$

не зростає в інтервалі $(0,\mathrm{\infty })$.

Зауваження

• При $K=0$ нерівність можна записати так

  $\mathrm{Vol}B(p,\lambda \cdot r{)}_M⩽{\lambda }^n\cdot \mathrm{Vol}B(p,r{)}_M$

при $\lambda ⩾1$ .

• Якщо r прямує до нуля, то співвідношення наближається до одиниці, отже разом із монотонністю це означає, що

  $\mathrm{Vol}B(p,r{)}_M⩽\mathrm{Vol}B(\tilde{p},r{)}_{{𝕄}^n(K)}.$

Цю версію вперше довів Бішоп.

Див. також

• Теорема Маєрса