Нерівність Бонсе

В теорії чисел, нерівністю Бонсе називається нерівність для простих чисел, доведена Бонсе у 1907 році.

Твердження

Якщо $p_n$ позначає $n$-не просте число, то

$p_{n+1}^2<p_1{p}_2...p_n$

для $n>3$.

З використанням цієї нерівності, Бонсе довів, що 30 є найбільшим цілим числом $n$ із такою властивістю: якщо натуральне число $k$, де $1<k<n$ є взаємно простим із $n,$ тобто $(n,k)=1$, то $k$ є простим числом.

Бонсе також довів сильнішу нерівність:

$p_{n+1}^3<p_1{p}_2...p_n$

для $n>5$.

Натомість слабша нерівність:

$p_{n+1}<p_1{p}_2...p_n$

негайно випливає із доведення Евклідом нескінченності простих чисел.

Приклади

Прикладами для найменших чисел є

$121=11^2<2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210$

$169=13^2<2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310$

$289=17^2<2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13=30030$

$361=19^2<2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17=510510$

Доведення

За допомогою постулата Бертрана

Просте доведення нерівності можна дати за допомогою постулата Бертрана (проте воно не є елементарним через використання постулату). Послідовні прості числа задовольняють нерівність $p_{n+1}<2p_n.$ Якщо тепер припустити $p_n^2<p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_{n-1},$ то з використанням нерівності із постулату Бертрана

$p_{n+1}^2<4p_n^2<4\cdot p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_{n-1}<p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_n,$

оскільки $p_n>4$ для $n>2.$

Оскільки нерівність Бонсе виконується для $n=4,$ то методом математичної індукції вона виконується і для всіх більших натуральних чисел.

Елементарне доведення

Нерівність була доведена простими підрахунками для $n=4,5,6,7.$

Позначимо $m=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ — цілу частину числа. Очевидно $n⩾2m$ і для $n⩾8$ також $n-m+1<p_m.$ Дійсно, для другої нерівності $n-m+1⩽m+2<p_m,$ де остання нерівність очевидно виконується для всіх $m⩾4.$

Позначимо $t=p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_{m-1}$ і $S=\{t-1,2t-1,\dots ,p_{m}t-1\}.$ Нехай елементи $r_{1}t-1$ і $r_{2}t-1$ множини $S$ діляться на просте число $p_{m+i},i\in \{0,1,\dots n-m\}.$ Тоді $p_{m+i}|t(r_1-r_2),$ що неможливо. Тобто жодне із простих чисел $p_m,\dots ,p_n$ не ділить більше одного із чисел множини $S.$ Оскільки $n-m+1<p_m,$ то цих простих чисел є менше, ніж елементів множини $S.$Відповідно існує число $rt-1\in S,$ що не ділиться на жодне із простих чисел $p_1,\dots \cdot p_n,$ а тому воно ділиться на якесь більше просте число і зокрема є не меншим, ніж $p_{n+1}.$

Враховуючи все це маємо:

$p_{n+1}⩽rt-1=r\cdot p_1\cdot \dots \cdot p_{m-1}-1<p_1\cdot \dots \cdot p_m,$

а тому:

$p_{n+1}^2<(p_1\cdot \dots \cdot p_m)\cdot (p_1\cdot \dots \cdot p_m)<p_1\cdot \dots \cdot p_{2m}⩽p_1\cdot \dots \cdot p_n,$

що і завершує доведення.

Посилення і подібні нерівності

Долезман у 2000 році довів що

$p_{n+1}{p}_{n+2}<p_1{p}_2...p_n$

для $n>3$.

Шандор у 1988 році показав, що:

$p_{n+5}^2+p_{[\frac{n}{2}]}^2<p_1{p}_2...p_n$

для $n>23$.

Поса у 1960 році довів, що для кожного $k>1$, існує $n_k$ для якого:

$p_{n+1}^k<p_1{p}_2...p_n$

для $n\ge n_k$.

Панаітополь довів у 2000 році що:

$p_{n+1}^{n-\pi (n)}<p_1{p}_2...p_n$

де $\pi (x)$— функція розподілу простих чисел.

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Robert J. Betts, Using Бонсе's Inequality to Find Upper Bounds on Prime Gaps, Journal of Integer Sequences, 10, 2007, Versione online.
• G. van Golstein Brouwers, D. Bamberg, J. Cairns, "Totally Goldbach numbers and related conjectures". Australian Mathematical Society Gazette. Vol 31(4) (2004), p. 254. Versione online.
• József Sándor, Geometric Theorems, Diophantine Equations, and Arithmetic Functions, American Research Pres, 2002, ISBN 1-931233-51-9, pp. 238–240. versione online