Нерівність Бернуллі

Нерівність Бернуллі стверджує: якщо $x\ge -1$, то

$(1+x{)}^n\ge 1+nx$ для всіх $n\in {\mathbb{N}}_0.$

Однак, узагальнена нерівність Бернуллі стверджую наступне:

• якщо $n\in (-\mathrm{\infty };0)\cup (1;+\mathrm{\infty })$, то $(1+x{)}^n\ge 1+nx$
• якщо $n\in (0;1)$, то $(1+x{)}^n\le 1+nx$
• при цьому рівність досягається в двох випадках: $[\begin{array}{c}\mathrm{\forall }x\ne -1,n=0\\ \mathrm{\forall }n\ne 0,x=-1\end{array}$ помилка

Доведення

Доведення $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0$ проводиться методом математичної індукції по n. При n = 0 нерівність, очевидно, вірна. Припустимо, що вона вірна для n, доведемо це вірно для n+1:

$(1+x{)}^{n+1}=(1+x)(1+x{)}^n\ge (1+x)(1+nx)\ge (1+nx)+x=1+(n+1)x$.

Проте наведене доведення не розповсюджується на інші $n\in ℝ$. Доведення узагальненої нерівності Бернуллі наведено нижче.
Розглянемо $f(x)=(1+x{)}^n-nx$, причому $x>-1,n\ne 0,n\ne 1$.
Похідна $f^{\prime }(x)=n(1+x{)}^{n-1}-n=0$ при $x=x_0=0$, оскільки $n\ne 0$.
Функція $f$ двічі диференційовна в проколотому околі точки $x_0$. Тому $f^{″}(x)=n(n-1)(1+x{)}^{n-2}$. Отримуємо:

• $f^{″}(x)>0$ ⇒ $f(x)\ge f(x_0)$ при $n\in (-\mathrm{\infty };0)\cup (1;+\mathrm{\infty })$
  
• $f^{″}(x)<0$ ⇒ $f(x)\le f(x_0)$ при $n\in (0;1)$
  

Значення функції $f(x_0)=1$, відповідно, справедливі наступні твердження:

• якщо $n\in (-\mathrm{\infty };0)\cup (1;+\mathrm{\infty })$, то $(1+x{)}^n\ge 1+nx$
• якщо $n\in (0;1)$, то $(1+x{)}^n\le 1+nx$

Неважко помітити, що за відповідних значень $x_0=0$ або $n=0,n=1$ функція $f(x)=f(x_0)$. При цьому в кінцевій нерівності зникають обмеження на $n$, що були задані на початку доведення, оскільки для них виконується рівність. ■ — Q.E.D.

Зауваження

• Нерівність також справедлива для $x\ge -2$ (при $n\in {\mathbb{N}}_0$), але вказане вище доведення методом математичної індукції у випадку $x\in [-2,-1)$ не працює.

Назва

Нерівність названа на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр