Мінімальна поверхня Бура

Поверхня Бура.

Поверхня Бура, за винятком точок з r < 0,5, для чіткішої ілюстрації самоперетинів

У математиці мінімальна поверхня Бура — це двовимірна мінімальна поверхня, вбудована за допомогою самопереходів у тривимірний евклідів простір. Названа на честь Едмона Бура, чия робота над мінімальними поверхнями принесла йому премію з математики Французької академії наук у 1861 році.

Опис

Поверхня Бура перетинає себе на трьох копланарних променях, що зустрічаються під однаковими кутами в початку простору. Промені ділять поверхню на шість листів, топологічно еквівалентних півплощинам; три аркуші лежать у півпросторі над площиною променів, а три — нижче. Чотири аркуші дотикаються вздовж кожного променя.

Рівняння

Точки на поверхні можуть бути параметризовані в полярних координатах парою чисел Шаблон:Math. Кожна така пара відповідає точці в трьох вимірах відповідно до параметричних рівнянь$$\begin{array}{cc}x(r,\theta )& =r\cos (\theta )-\frac{1}{2}{r}^2\cos (2\theta )\\ y(r,\theta )& =-r\sin (\theta )(r\cos (\theta )+1)\\ z(r,\theta )& =\frac{4}{3}{r}^{3/2}\cos \left(\frac{3}{2}\theta \right).\end{array}$$Поверхня також може бути виражена як розв'язок поліноміального рівняння 16-го порядку в декартових координатах тривимірного простору.

Властивості

Параметризація Вейєрштрасса — Еннепера, метод перетворення певних пар функцій над комплексними числами на мінімальні поверхні, дозволяє записати цю поверхню двома функціями $f(z)=1,g(z)=\sqrt{z}$ . Бур довів, що поверхні в цьому сімействі розгортаються в поверхню обертання.