Модель де Муавра

Модель де Муавра — математична модель, що застосовується в актуарних розрахунках для аналізу виживаності.

Аналітичні закони смертності

В основі актуарних розрахунків лежить щільність імовірностей f(x) і обумовлені нею функції S(x), μx та інші характеристики. Ясно, що ці розрахунки будуть простішими, якщо відомий аналітичний вигляд функції f(x) з точністю ряду параметрів, які можна оцінити за статистичними даними про тривалість життя людей.

Модель де Муавра

У 1729 р. Абрахам де Муавр запропонував вважати, що тривалість життя рівномірно розподілена на інтервалі $[0,\mathrm{\Omega }]$, де $\mathrm{\Omega }$ — це граничний вік людини, тобто:

$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\left(\frac{1}{\mathrm{\Omega }}\right),& x\in [0,\mathrm{\Omega }],\\ 0,& x\notin [0,\mathrm{\Omega }].\end{array}\right\},$ (1)

Це найбільш проста апроксимація кривої життя f(x). У рамках моделі Муавра легко знаходяться функції виживаності S(x), розподіл F(x), інтенсивність смертності μx і необхідні числові характеристики (середнє, дисперсія та ін.).

Очевидно, що $F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(x)dt=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left(\frac{1}{\mathrm{\Omega }}\right)dt=x/\mathrm{\Omega },$ при $x\le \mathrm{\Omega },$

якщо $x>\mathrm{\Omega }$, тоді $F(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\Omega }}{\int }}\left(\frac{1}{\mathrm{\Omega }}\right)dt+\underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{x}{\int }}0dt=1.$

$F(x)=\left\{\begin{array}{cc}\left(\frac{x}{\mathrm{\Omega }}\right),& x\in [0,\mathrm{\Omega }],\\ 1,& x\notin [0,\mathrm{\Omega }]\end{array}\right\},$ (2)

$S(x)=1-F(x)=\left\{\begin{array}{cc}1-\left(\frac{x}{\mathrm{\Omega }}\right),& x\in [0,\mathrm{\Omega }]\\ 0,& x>\mathrm{\Omega }\end{array}\right\}$ ,

$\mu (x)=\frac{f(x)}{s(x)}=\frac{\frac{1}{\mathrm{\Omega }}}{1-\frac{x}{\mathrm{\Omega }}}=\frac{1}{\mathrm{\Omega }-x},$ при $x\in (0,\mathrm{\Omega }].$

Для інших значень x інтенсивність смертності не визначена. За формулами середнього часу життя та дисперсії тривалості життя одержуємо:

$e_0=\underset{0}{\overset{\mathrm{\Omega }}{\int }}S(x)dx=\mathrm{\Omega }/2,$

$E{X}^2=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\Omega }}{\int }}x(1-x/\mathrm{\Omega })dx={\mathrm{\Omega }}^2/3,$

${\sigma }^2={\mathrm{\Omega }}^2/12,$ $\sigma =\mathrm{\Omega }/2\sqrt{3}.$(3)

На підставі дослідних і статистичних даних про тривалість життя модель Муавра можна вважати дуже грубою. Реально її можна використовувати для апроксимації функції виживання на певному інтервалі часу.

Джерела

• Актуарні розрахунки
• Визначення страхового тарифу в страхуванні життя Шаблон:Webarchive
• Актуарна математика. Ч. 1: навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. / упоряд.: О. М. Іє, С. А. Сотникова; Держ. закл. «Луган. нац. ун-т імені Тараса Шевченка». — Луганськ: Вид-во ДЗ «ЛНУ імені Тараса Шевченка», 2009. — 132 с.