Модель Ено-Ейлеса

Контури потенціалу Ено-Ейлеса

Модель або ж система Ено-Ейлеса — це система диференціальних рівнянь (динамічна модель), що була запропонована Майклом Еноном (Michel Hénon) та Карлом Ейлесом (Carl Heiles) під час їхньої роботи в Принстонському університеті над описом нелінійного руху зірки навколо галактичного центру з обмеженням руху в одній площині. У 1964 році вони опублікували статтю під назвою "The applicability of the third integral of motion: Some numerical experiments". Їх початковою ідеєю було знайти третій інтеграл руху в галактичній динаміці. Для цього вони взяли спрощений двовимірний нелінійний осесиметричний потенціал і виявили, що третій інтеграл існує лише для обмеженої кількості початкових умов. У сучасній перспективі початкові умови, які не мають третього інтеграла руху, називаються хаотичними орбітами.

Загальний вигляд

Трьохвимірова анімація для фазової траєкторії динамічної системи Ено-Ейлеса. Точки перетину Пуанкаре, які щільно заповнюють деяку область, доводять, що поточні параметри системи відповідають хаотичному руху.

Потенціал Ено-Ейлеса може бути виражений як

$V(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)+\lambda (x^{2}y-\frac{y^3}{3}).$

Гамільтоніан Ено-Ейлеса має такий вигляд:

$H=\frac{1}{2}(p_x^2+p_y^2)+\frac{1}{2}(x^2+y^2)+\lambda (x^{2}y-\frac{y^3}{3}).$

Відповідно, система диференціальних рівнянь Ено-Ейлеса це наступні чотири рівняння:

$\dot{x}=p_x,$

$\dot{p_x}=-x-2\lambda xy,$

$\dot{y}=p_y,$

$\dot{p_y}=-y-\lambda (x^2-y^2).$

Ці рівняння можна також розглядати як опис двомірного ангармонічного осцилятора.

В середовищі вчених, що вивчає класичний хаос значення параметра $\lambda$ зазвичай приймається рівним одиниці. Оскільки ця система означена на ${ℝ}^2$, для її моделювання потрібен гамільнтоніан з 2 ступенями вільності. Її можна розв'язати в деяких випадках з допомогою аналізу Пенлеве.

Квантовий гамільтоніан Ено-Ейлеса

У випадку квантової механіки гамільтоніан Ено-Ейлеса може бути записаний з відповідного двовимірного рівняння Шредінгера, яке має такий вигляд:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(x,y)=[\frac{-{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+\frac{1}{2}(x^2+y^2)+\lambda (x^{2}y-\frac{1}{3}{y}^3)]\mathrm{\Psi }(x,y).$

Джерела

• Чому б не інтеґгрувати другий закон Ньютона лише чисельно? — Ґаральд Іро — Світ фізики №2 (2000)