Метод ізоспектральної деформації

Метод ізоспектральної деформації — метод інтегрування нелінійних еволюційних рівнянь. Був відкритий у 1967 році.

Сутність методу

Метод ізоспектральної деформації полягає в тому, що інтеграли руху розглядуваної динамічної системи є власними значеннями деякої матриці $L$, яка залежить від динамічних змінних цієї системи. Природа цієї залежності така, що спектр матриці для будь-якого рішення рівнянь руху від часу не залежить. Таким чином, у процесі еволюції динамічної системи ця матриця зазнає ізоспектральну деформацію. Власні ж значення матриці, розглядувані як функціонали від змінних динамічної системи, представляють інтеграли руху.

Усі відомі системи такого типу пов'язані із алгебрами Лі й у всіх відомих випадках їх інтегровуваність обумовлена наявністю суперсиметрії.

Визначення

Розгляньмо клас матриць, наприклад, усіх матриць Якобі вигляду

$L=\left(\begin{array}{cccccc}0& a_1& 0& & 0& \\ a_1& 0& a_2& & & & \\ .& .& .& & & & \\ & .& .& .& & & \\ & & .& .& .& \\ & & & .& .& a_{-1}\\ & & 0& & a_{n-1}& 0\end{array}\right)$

із додатними елементами $a_1,a_2,...,a_{n-1}.$ Їх власні значення дійсні або прості. Потрібно віднайти усі матриці цього класу, які мають однаковий спектр. Можна подумати, що наявних параметрів недостатньо, але оскільки

$K^{-1}LK=-L$ при $K=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,-1,+1,...),$

для характеристичного многочлена

${\mathrm{\Delta }}_n(\lambda )=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(\lambda I-L)$

маємо співвідношення

${\mathrm{\Delta }}_n(\lambda )=(-1{)}^n{\mathrm{\Delta }}_n(-\lambda ).$

Відповідно, разом із $\lambda$ також і $-\lambda$ є власним значенням, $\lambda =0$ буде власним значенням за неперного $n.$ Таким чином, фіксування власних значень накладає $[n/2]$ умов, і розмірність простору ізоспектральних матриць виявляється рівною $n-[n/2].$

Для отримання ізоспектральних деформацій Лакс розглядував диференціальні рівняння у формі

$\frac{d}{dt}L=BL-LB,$

де $L=L(t),t$ - параметр деформації. Матриця $B$ повинна бути підібрана так, щоб комутатор $[B,L]$ мав нулі усюди за винятком елементів на двох діагоналях, які повинні співпадати. У даному випадку в якості одного з можливих варітанів знаходиться кососиметрична матриця

$B=\left(\begin{array}{ccccccc}0& 0& a_1{a}_2& 0& & & \\ 0& 0& 0& a_2{a}_3& & \\ -a_1{a}_2& 0& ...& ...& & & \\ & & & & 0& a_{n-2}{a}_{n-1}\\ & & & 0& 0& 0\\ & & & -a_{n-2}{a}_{n-1}& 0& 0\end{array}\right),$

для якої диференціальне рівняння $\frac{d}{dt}L=BL-LB$ приймає вигляд

${\dot{a}}_k=a_k(a_{k+1}^2-a_{k-1}^2),k=1,2,...,n-1,$

де формально $A_0=0=a_n.$

Диференціальне рівняння $\frac{d}{dt}L=BL-LB$ приводить до ізоспектральних деформацій.

Якщо вирішувати диференціальне рівняння

$\frac{d}{dt}U=BU,U(0)=I,$

то $\frac{d}{dt}L=BL-LB,$ гарантує, що

$\frac{d}{dt}(U^{-1}LU)=0,$

відповідно,

$U^{-1}LU=L(0).$

Таким чином, власні значення $L$ залишаються сталими під дією цієї деформації. Коефіцієнти $I_k$ характеристичного поліному

${\mathrm{\Delta }}_n(\lambda )={\lambda }^n+I_1{\lambda }^{n-1}+...+I_n$

також є інтегралами руху, поліноміальними по $a_1^2,a_2^2,...,a_{n-1}^2.$

Приклад

Нехай є інтегрована система $n$ взаємодіючих частинок у стандартному конфігураційному просторі ${ℝ}^n.$ Такі системи описуються гамільтоніаном

$H=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{p}_j^2+g^2\sum _{j<k}v(q_j-q_k),p_j,q_k\in {ℝ}^n.$

У просторі двох й більшого числа вимірів відома лише одна система- система $n$ взаємодіючих осциляторів:

$v(q)=\frac{1}{2}{\omega }^2{q}^2.$

Після уведення координат Якобі така система зводиться до системи $n-1$ частинки, яка рухається незалежно у загальному осциляторному потенціалі.

Нехай система $n$ частинок має одиничну масу, які знаходяться на прямій і попарно взаємодіють одна із одною. Така система описується гамільтоніаном

$H=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{p}_j^2+g^2\sum _{j<k}v(q_j-q_k).$

Підберемо потенцал $v(q)$ таким чином, щоб розглядувана система мал додаткові інтеграли руху. Припустимо, нам вдалося віднайти пару матриць $L,B$, які залежать від динамічних змінних $p$ та $q$ (пара Лакса), так що рівняння Гамільтона

${\dot{p}}_j=-\frac{\partial H}{\partial q_j},{\dot{q}}_j=p_j$

є еквівалентними матричному рівнянню

$i\dot{L}=[B,L].$

Така форма запису називається представленням Лакса. Звідси слідує, що матриця $L(t)$ зазнає перетворення подібності

$L(t)=u(t)L(0)u^{-1}(t),B=i\dot{u}{u}^{-1}.$

При цьому матриця $B$ є еміртовою, матриця $u$ унітарна $u^{-1}=u^{+}.$ Відповідно, власні значення матриці $L(t)$ від часу не залежать, тобто є інтегралами руху; або, іншими словами, матриця $L(t)$ із плином часу зазнаєізоспектральну деформацію. При цьому в якості інтегралів руху часто буває зручно використовувати не власні значення $L(t)$, а симетричні функції від них, наприклад величини

$I_k=k^{-1}\mathrm{t}\mathrm{r}(L^k).$

Якщо з допомогою такого прийому вдається віднайти $n$ функціонально незалежних інтегралів руху й показати, що усі вони знаходяться у інволюції, то розглядувана система є цілком інтегровуваною.

Див.також

• Рівняння синус-Ґордона
• Рівняння Кортевега де Фріза