Метод характеристик

Шаблон:Диференціальні рівняння Метод характеристик (Шаблон:Lang-en) - метод розв'язання диференціальних рівнянь у частинних похідних. Зазвичай застосовується до рівнянь у частинних похідних першого порядку, проте може бути застосованим і до гіперболічних рівнянь вищого порядку. Метод полягає у приведенні рівняння у частинних похідних до сімейства звичайних диференціальних рівнянь.

Характеристики рівняння першого порядку

Для розв'язання рівняння першого порядку, метод полягає у знаходженні кривих (що зазвичай називаються характеристиками), вздовж яких рівняння в частинних похідних перетворюється на звичайне диференціальне рівняння. Щойно такі звичайні диференціальні рівняння знайдено, їх можна розв'язати вздовж характеристик і потім знайдений розв'язок перетворити на розв'язок первинного рівняння в частинних похідних.

Розглянемо таке квазілінійне рівняння на невідому функцію $u(x,y)$

$a(x,y,u)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y,u)\frac{\partial u}{\partial y}=c(x,y,u).(1)$

Припустимо, що функція on u відомо, і розглянемо поверхню z = u(x,y) в R³. Нормаль до цієї поверхні задається виразом

$(u_x(x,y),u_y(x,y),-1).$

В результаті одержимо , що рівняння (1) еквівалентне геометричному твердженню, що векторне поле

$(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))$

є дотичним до поверхні z = u(x,y) в кожній точці.

Рівняння характеристик можуть бути записані інваріантним чином

$\frac{dx}{a(x,y,z)}=\frac{dy}{b(x,y,z)}=\frac{dz}{c(x,y,z)},$

або ж, якщо задано певну параметризацію t характеристик, тоді ці рівняння можна записати як систему звичайних диференціальних рівнянь для x(t), y(t), z(t):

$\begin{array}{ccc}\frac{dx}{dt}& =& a(x,y,z)\\ \frac{dy}{dt}& =& b(x,y,z)\\ \frac{dz}{dt}& =& c(x,y,z).\end{array}$