Метод Адамса

Шаблон:Диференціальні рівняння Метод Адамса — група методів чисельного інтегрування звичайних диференційних рівнянь, які дозволяють обчислювати таблицю наближених значень розв'язку за даними в початкових точках.

В однокрокових методах для обчислення значення у_n+1 використовується значения тільки у_n і для підвищення точності при фіксованому кроці необхідно проводити обчислення великої кількості допоміжних величин. Це є причиною того, що для багатьох задач застосування формул Рунге-Кутти неможливе внаслідок надто великого обсягу обчислень. Тому часто раціональніше переходити до багатокрокових методів, які дають можливість, використовуючи значення f(x_i,y_i), що обчислені на попередніх кроках, отримати прийнятну точність. Серед k-крокових методів найчастіше використовують методи інтегрування на сітці з постійним кроком, які називаються скінченно-різницевими схемами. Розглянемо загальне диференційне рівняння (1)
$\underset{D}{\int }f(\overrightarrow{x})d\overrightarrow{x}\approx \sum _{i=1}^N{\omega }_{i}f({\overrightarrow{x}}^i)$

Припустимо, що вже відомі розв'язки на множині значень Х_i (і=0,1,. . .,п). Тобто можна записати рівняння (2):

$y(x_{n+1})=y_n+\underset{x_n}{\overset{x_{n+1}}{\int }}f(t,y(t))dt$

При обчисленні інтеграла в правій частині цього виразу підінтегральну функцію замінимо на інтерполяційний многочлен Ньютона для інтерполяції назад $P_{n-1}(x)=f(x_n)+f(x_{n-1};x_n)(x-x_n)+...+f(x_1;...;x_n)(x-x_n)...(x-x_1)$ на сітці х_п, x_n-1, x_n-2 ,...

При цьому $f(x,y)\equiv f(x)=a_0+a_1(x-x_n)+a_2(x-x_n)(x-x_{n-1})+...+a_m(x-x_n)...(x-x_{n-m+1})+R_m(x)$ де $a_k=\frac{{\mathrm{\nabla }}^k{f}_n}{k!h^k}$ і R_m(x) - похибка інтерполяції, яка і буде визначати похибку отриманих нижче формул. Нагадаємо, що ${\mathrm{\nabla }}^k{f}_n$ — скінченні ліві різниці k-го порядку функції f(x,y) в точці х_n. Підставивши в (2) праву частину (1) і знехтувавши оцінкою похибки, отримаємо

$\underset{x_n}{\overset{x_{n+1}}{\int }}f(t,y(t))dt\approx \sum _{k=0}^m\frac{{\mathrm{\nabla }}^k{f}_n}{k!h^k}\underset{x_n}{\overset{x_{n+1}}{\int }}(t-x_n)...(t-x_{n-k+1})dt$

Обчислимо декілька перших інтегралів:

$k=0,\underset{x_n}{\overset{x_{n+1}}{\int }}dt=h$

$k=1,\underset{x_n}{\overset{x_{n+1}}{\int }}(t-x_n)dt=\frac{h^2}{2}$

$k=2,\underset{x_n}{\overset{x_{n+1}}{\int }}(t-x_n)(t-x_{n-1})dt=\frac{5}{6}{h}^3$

У результаті отримаємо формулу Адамса

$y_{n+1}=y_n+h[f_n+\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }{f}_n+\frac{5}{12}{\mathrm{\nabla }}^2{f}_n+\frac{3}{8}{\mathrm{\nabla }}^3{f}_n+\frac{251}{720}{\mathrm{\nabla }}^4{f}_n+...]$

де порядок точності методу збігається з кількістю доданків у квадратних дужках. На практиці, для користування цією формулою залежно від порядку точності, необхідно знати відповідну початкову послідовність значень f_i (а значить і y_i) у вузлах Х_i. Для їх обчислення зазвичай використовують однокроковий метод (наприклад Рунге-Кутти) в початкових точках поблизу x₀, а потім переходять до використання формули Адамса.

Приклади

Розглянемо такий приклад

$y^{\prime }=y,y(0)=1.$

Точним розв'язком є $y(t)={\mathrm{e}}^t$.

Однокроковий Ейлер

Простим чисельним методом є метод Ейлера:

$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n).$

Метод Ейлера можна розглядати як вироджений в однокроковий багатокроковий метод.

Цей метод, застосований з кроком розміру $h=\frac{1}{2}$ на проблемі $y^{\prime }=y$, дає такі висліди:

$\begin{array}{cc}{y}_1& =y_0+hf(t_0,y_0)=1+\frac{1}{2}\cdot 1=1.5,\\ y_2& =y_1+hf(t_1,y_1)=1.5+\frac{1}{2}\cdot 1.5=2.25,\\ y_3& =y_2+hf(t_2,y_2)=2.25+\frac{1}{2}\cdot 2.25=3.375,\\ y_4& =y_3+hf(t_3,y_3)=3.375+\frac{1}{2}\cdot 3.375=5.0625.\end{array}$

Двокроковий метод Адамса-Бешфорта

Метод Ейлер однокроковий. Простий багатокроковий метод це двокроковий метод Адамса-Бешфорта (Шаблон:Lang-en)

$y_{n+2}=y_{n+1}+\frac{3}{2}hf(t_{n+1},y_{n+1})-\frac{1}{2}hf(t_n,y_n).$

Цей метод для отримання наступного значення, $y_{n+2}$, потребує два значення, $y_{n+1}$ і $y_n$. Однак, задача з початковим значенням надає лише одне, $y_0=1$. Один з підходів полягає у використанні $y_1$ обчисленого методом Ейлера як другого значення. З таким вибором, метод Адамса-Бешфорта видає (округлено до чотирьох цифр):

$\begin{array}{cc}{y}_2& =y_1+\frac{3}{2}hf(t_1,y_1)-\frac{1}{2}hf(t_0,y_0)=1.5+\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1.5-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=2.375,\\ y_3& =y_2+\frac{3}{2}hf(t_2,y_2)-\frac{1}{2}hf(t_1,y_1)=2.375+\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2.375-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1.5=3.7812,\\ y_4& =y_3+\frac{3}{2}hf(t_3,y_3)-\frac{1}{2}hf(t_2,y_2)=3.7812+\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 3.7812-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2.375=6.0234.\end{array}$

Точний розв'язок при $t=t_4=2$ є ${\mathrm{e}}^2=7.3891\dots$, отже двокроковий метод Адамса-Бешфорта точніший ніж метод Ейлера. Це завжди виконується якщо крок достатньо малий.

Див. також

• Метод Ейлера
• Метод Рунге — Кутти

Джерела

• Єжов С.М. Методи обчислень