Матриця угрупування

Матриця групуванняШаблон:Термін — лінеаризація рівнянь Лотки — Вольтерри в стаціонарній точці. Дійсна частина власних чисел матриці групування визначає стабільність у стаціонарній точці.

Рівняння Лотки — Вольтерри мають такий вигляд:

$\begin{array}{cc}\frac{dx}{dt}& =x(\alpha -\beta y)\\ \frac{dy}{dt}& =-y(\gamma -\delta x),\end{array}$

де x(t) визначає кількість хижаків, y(t) — кількість жертв, і α, β, γ and δ — константи. Лінеаризація цих диференціальних рівнянь у стаціонарній точці (x*, y*) має вигляд

$\left[\begin{array}{c}\frac{du}{dt}\\ \frac{dv}{dt}\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right],$

де u = x − x* і v = y − y*. Матриця A називається матрицею групування (Шаблон:Lang-en). Якщо серед власних значень (λ) матриці A є числа з додатною дійсною частиною ($\mathrm{Re}\lambda >0$), стаціонарний стан нестійкий, якщо ж дійсна частина обох власних значень від'ємна, то стаціонарний стан буде стійким (стабільним). Критичний випадок, коли дійсна частина власного значення дорівнює нулю, називають нейтральною стійкістюШаблон:Sfn.

Посилання

• Шаблон:Citation.