Лема Гронуолла — Беллмана

Лема Гронуолла—Беллмана — лема про інтегральні (диференціальні) нерівності. Використовується для встановлення різноманітних оцінок в теорії звичайних диференціальних рівнянь та стохастичних диференціальних рівнянь. Зокрема, вона використовується при доведені єдиності розв'язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння.

Формулювання

В інтегральній формі.

Нехай

• $u(t)⩾0,$
• $f(t)⩾0,$
• $u(t),f(t)\in C[t_0,\mathrm{\infty }),$

причому при $t⩾t_0$ виконується нерівність:

$u(t)⩽c+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )u(\tau )d\tau ,(1)$

де $c$ — деяка додатна константа. Тоді для довільного $t⩾t_0$ виконується оцінка

$u(t)⩽c\exp \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau .(2)$

В диференціальні формі.

Нехай

• $u(t)\in C^1(t_0,\mathrm{\infty }),f(t)\in C[t_0,\mathrm{\infty }),$

причому при $t⩾t_0$ виконується нерівність:

$u^{\prime }(t)⩽f(t)u(t),(1^{\prime })$

Тоді для довільного $t⩾t_0$ виконується оцінка

$u(t)⩽u(t_0)\exp \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau .(2^{\prime })$

Зауваження. В цьому випадку немає жодних припущень на знак функцій $u(t),f(t)$, але вимагається диференційовність функції $u(t)$.

Доведення

Із нерівності (1) отримуємо

$\frac{u(t)}{c+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )u(\tau )d\tau }⩽1,$

та

$\frac{f(t)u(t)}{c+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )u(\tau )d\tau }⩽f(t),(3)$

Оскільки

$\frac{d}{dt}[c+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )u(\tau )d\tau ]=f(t)u(t),$

то, інтегруючи нерівність (3) в межах від $t_0$ до $t$, матимемо

$\ln [c+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )u(\tau )d\tau ]-\ln c⩽\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau .$

Звідси, використовуючи нерівність (1), отримуємо

$u(t)⩽c+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )u(\tau )d\tau ⩽c\exp \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau ,$

що й треба було довести.

Джерела

1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. Шаблон:Ref-ru