Ланцюг Тоди

Ланцю́г Тоди — система дискретних нелінійних рівнянь, які описують динаміку взаємопов'язаних нелінійних осциляторів. Має важливе значення у теорії коливань кристалічних ґраток.

Система у загальному випадку має вигляд:

$m{\ddot{r}}_n=2f(r_n)-f(r_{n+1})-f(r_{n-1})$

де $r_n(t)$ має сенс величини відхилення n-го осцилятора від положення рівноваги, а $f(r_i)$ — нелінійна функція, яка має сенс повертаючої сили, діючої на осцилятор $i$. Точки означають взяття операції диференціювання.

Визначення

Ланцюгом тоди називається нескінченна система рівнянь

${\ddot{q}}_j=e^{q_{j-1}-q_j}-e^{q_j-q_{j+1}}$

на функції $q_j=q_j(t).$

Ланцюг Тоди є гамільтоновою системою із гамільтоніаном

$H=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{p}_j^2+\sum _{j=1}^{n-1}{e}^{q_j-q_{j+1}}$

відносно стандартної дужки Пуасона, де $p_j={\dot{q}}_j.$

Звичайний неперіодичний ланцюг Тода — це система з $n$ взаємодіючих частинок на прямій із гамільтоніаном

$H=\frac{1}{2}\sum _1^n{p}_j^2+g^2\sum _1^{n-1}\exp [2(q_j-q_{j+1})].$

Для періодичного випадку така система характеризується гамільтоніаном

$H^{\prime }=\frac{1}{2}\sum _1^n{p}_j^2+g^2\sum _1^n\exp [2(q_j-q_{j+1})],q_{n+1}=q_1.$

Тут $q_j$ — координата частинки $j,p_j$ — її імпульс.

Після переходу у систему центру мас ($\sum _1^n{p}_j=0$) отримуємо систему із $n-1$ ступенем вільності. За допомогою зсувів координат $q_j\to q_j+a_j$ можна перейти до випадку $g=1$ для неперіодичного ланцюга й до гамільтоніану

$H^{″}=\frac{1}{2}\sum _1^n{p}_j^2+\sum _{j=1}^{n-1}\exp [2(q_j-q_{j+1})]+f^2\exp [2(q_n-q_1)]$

для періодичного ланцюга.

Рівняння руху у неперіодичному випадку (за $g=1$) мають вигляд

$\{\begin{array}{c}{\dot{q}}_j=p_j,j=\overline{1,n};\\ {\dot{p}}_1=-2\exp [2(q-1-q_2)],{\dot{p}}_n=2\exp [2(q_{n-1}-q_n)],\\ {\dot{p}}_j=-2\exp [2(q_j-q_{j+1})]+2\exp [2(q_{j-1}-q_j)],j=\overline{2,(n-1)}.\end{array}$

У періодичному ж випадку маємо:

${\dot{q}}_j=p_j,{\dot{p}}_j=2\{\exp [2(q_{j-1}-q_k)]-\exp [2(q_j-q_{j+1})]\}.$

Як у неперіодичному, так й у періодичному випадках мають $n$ інтегралів руху. Явний їх вигляд слідує з представлення Лакса, відкритого у роботах Флашки й Манакова.

Див. також

• Теплоємність
• Рівняння синус-Ґордона
• Рівняння Кортевега де Фріза
• Метод Хіроти