Ланцюгові дроби Данжуа

Ланцюговий дріб Данжуа, або канонічний ланцюговий дріб (Шаблон:Lang-en)— це ланцюговий дріб виду

$[d_0;d_1,d_2,d_3,...]=d_0+\frac{1}{d_1+\frac{1}{d_2+\frac{1}{d_3+...}}}$

де d₀ є ціле число, таке що $x-d_0\ge 0$ а всі інші $d_n\in D_2\equiv \{0,1\}$.

Французький математик Арно Данжуа встановив, що кожне дійсне число x розкладається у скінченний або нескінченний Ланцюговий дріб Данжуа.

На основі розкладу числа в ланцюговий дріб Данжуа була створена тополого-метрична теорія зображення чисел дробами Данжуа, так званого $D_2$-зображення.

Основні теореми $D_2$-зображення

Нехай $A=\{0;1\}$ – двосимвольний алфавіт, $L=A\times A\times ...$ — простір послідовностей елементів алфавіту. Покладемо $\frac{1}{0}\equiv \mathrm{\infty },\frac{1}{\mathrm{\infty }}\equiv 0$.

Теорема 1

Для довільного числа $x\in (0;1]$ існує набір $(d_1,d_2,d_3,...,d_n)$ або послідовність $(d_n)\subset L$ така, що:

$x=\frac{1}{d_1+\frac{1}{d_2+\frac{1}{d_3+...}}}\equiv [0;d_1,d_2,d_3,...{]}_2^D$,

причому $d_1=1$, і якщо $d_i=0$, то $d_j=1$ при $j=i+1$.

Теорема 2

Оскільки $[0;(1,0){]}^D=0,[0;1,(1,0){]}^D=1,$ то усі скінченні дроби Данжуа $[0;d_1,d_2,...,d_n{]}^D$ можна записувати у вигляді $[0;d_1,d_2,...,d_n,(1,0){]}^D$ і вважати, що кожне число з відрізка $[0;1]$ має нескінченне $D_2$-зображення.

Розклад в ланцюговий дріб Данжуа

Алгоритм розкладу числа у дріб Данжуа має наступний вигляд: Нехай маємо число $x\in (0;1].$ Якщо x = 1, то таким розкладом, очевидно, є $[0;1{]}^D$.

Якщо $x\in (0;1)$, то дріб $\frac{1}{x}>1$. Дріб $\frac{1}{x}=1+x_1$. Тоді $x=\frac{1}{\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+x_1},d_1=1.$

Якщо $x_1>1$, то $\frac{1}{\frac{1}{x_1}}<1$, тоді $x=\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{1}{x_1}}}=\frac{1}{1+\frac{1}{0+\frac{1}{x_1}}}$, $d_1=1,d_2=0$.

Якщо $x_1\in (0;1)$, то дріб $\frac{1}{x_1}>1$. Тоді $\frac{1}{x_1}=1+x_2$. Звідси маємо: $x=\frac{1}{1+\frac{1}{x_1}}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+x_2}},d_1=1,d_2=1$.

У кожному з наступних випадків діємо аналогічно, якщо $x_i>1$, то наступна цифра $d_i=0$, і наступна $d_j=1$; якщо $x_i<1$, то наступна цифра $d_i=1$, і наступна $d_j=1$.

За нескінченне число кроків отримаємо що $x_k=1$, або ж процес буде продовжуватись до нескінченності. Збіжність процесу очевидна.

Приклад. $\frac{1}{3}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{1+\frac{1}{0+\frac{1}{2}}}=\frac{1}{1+\frac{1}{0+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}}=[0;1,0,1,1{]}^D$.

Література

• Brown G. Metrical theory for farey continued fractions // Osaka J. Math. – 1996. — Vol. 33.no. 2.
• Cusick T. W. Hausdorff dimension of sets of continued fractions // Quan. J. Math. Oxford. — 1990. — Vol. 41, no. 2.
• Dajani K., Kraaikamp C. The mother of all continued fractions // Colloq. Math. — 2000. — 84/85. part 1.
• Denjoy A. Complement a la notice publiee en 1934 sur les travaux scientifiques de M. Arnaud Denjoy, Hermann, Paris, 1942.
• Iosifescu M., Kraaikamp C. Metric properties of Denjoy's canonical continued fraction expansion // Tokyo J. Math. — 31 (2008). — no. 2.
• Iosifescu M., Kraaikamp C. On Denjoy's canonical continued fraction expansion // Osaka J. Math. — 40 (2003). — no. 1.
• Pratsiovytyi M., Kyurchev D. Properties of the distribution of the random variable defined by A₂-continued fraction with independent elements // Random Oper. Stochastic Equations, 2009, Vol. 17., no. 1.
• Pratsiovytyi M.V., Goncharenko Y.V., Lysenko I.M., Ratushniak S. P. Continued $A_2$-fractions and singular functions. Matematychni Studii, 2022, 58(1), doi: 10.30970/ms.58.1.3-12
• Pratsiovytyi M.V., Goncharenko Ya.V., Lysenko I.M. Ratushniak S.P. Fractal functions of exponential type that is generated by the $Q_2^{*}$-representation of argument // Matematychni Studii. V.57, No.2.
• Працьовитий М. В., Скрипник С. О., Чуйков А.С. Ланцюгове $D_2$-зображення дійсних чисел і деякі функції, з ним пов'язані //  Збірник праць Інституту математики НАН України 2019, т. 16, № 3.