Ланцюгове правило (теорія ймовірності)

У теорії ймовірностей ланцюго́ве пра́вило (що також називають зага́льним пра́вилом до́буткуШаблон:SfnШаблон:Sfn) дає можливість обчислювати будь-який член спільного розподілу набору випадкових змінних із застосуванням лише умовних імовірностей. Це правило є корисним у дослідженні баєсових мереж, що описують розподіл імовірності в термінах умовних імовірностей.

Розгляньмо пронумерований набір наборів $A_1,\dots ,A_n$. Щоби знайти значення цього члена спільного розподілу, ми можемо застосувати визначення умовної ймовірності для отримання

$\mathrm{P}(A_n,\dots ,A_1)=\mathrm{P}(A_n|A_{n-1},\dots ,A_1)\cdot \mathrm{P}(A_{n-1},\dots ,A_1)$

Повторення цього процесу з кожним кінцевим елементом створює добуток

$\mathrm{P}\left(\bigcap _{k=1}^n{A}_k\right)=\prod _{k=1}^n\mathrm{P}\left(A_k\right|\bigcap _{j=1}^{k-1}{A}_j)$

Для чотирьох змінних ланцюгове правило продукує такий добуток умовних імовірностей:

$\mathrm{P}(A_4,A_3,A_2,A_1)=\mathrm{P}(A_4\mid A_3,A_2,A_1)\cdot \mathrm{P}(A_3\mid A_2,A_1)\cdot \mathrm{P}(A_2\mid A_1)\cdot \mathrm{P}(A_1)$

Це правило ілюструється таким прикладом. Урна 1 містить 1 чорну кулю та 2 білих кулі, а урна 2 містить 1 чорну кулю та 3 білих кулі. Припустімо, що ми обираємо урну навмання, і потім беремо кулю з цієї урни. Нехай подією $A$ буде обрання першої урни: $\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(\sim A)=1/2$. Нехай подією $B$ буде шанс взяти білу кулю. Шанс взяти білу кулю за умови, що ми обрали першу урну, становить $\mathrm{P}(B\mid A)=2/3$. Подія $A,B$ буде їхнім перетином: обрання першої урни та взяття білої кулі з неї. Цю ймовірність може бути знайдено за ланцюговим правилом для ймовірності:

$\mathrm{P}(A,B)=\mathrm{P}(B\mid A)\mathrm{P}(A)=2/3\times 1/2=1/3$.

Джерела

• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Russell Norvig 2003
• «The Chain Rule of Probability», developerWorks, Nov 3, 2012. Шаблон:Ref-en