Кумерова поверхня

Кумерова поверхня, названа на честь Ернста Кумера, є прикладом К3-поверхні (тобто однозв'язної компактної голоморфно симплектичної поверхні), зв'язаної з абелевою поверхнею (або, більш загально, двовимірним комплексним тором).

Нільпотентний конус

Перед обговоренням кумерової поверхні було б корисно обміркувати простіший приклад голоморфно симплектичної поверхні, що, на відмінність від кумерової, не є компактною.

Нехай $u,v$ суть голоморфні координати на ${ℂ}^2$, та нехай $\iota (u,v)=(-u,-v)$. Це є голоморфною інволюцією на ${ℂ}^2$. Розглянемо відображення ${ℂ}^2\to {ℂ}^3$, $(u,v)\mapsto (uv,u^2,-v^2)$. Воно ототожнюває точки $(u,v)$ з $(-u,-v)$, та тому є вкладенням ${ℂ}^2/\iota \to {ℂ}^3$. Маємо $(uv{)}^2+u^2(-v^2)=0$, так що коли $a,b,c$ є координати на ${ℂ}^3$, образ цього вкладення задовільняє рівнянню $a^2+bc=0$, тобто є квадратичним конусом $𝔑$.

Голоморфна форма $du\wedge dv$ на ${ℂ}^2$ є інваріантною відносно інволюції, так що вона спускається на гладкий локус конуса $𝔑$.

Теорема. Ця голоморфно симплектична форма на $𝔑\cong {ℂ}^2/\iota$ продовжується на роздуття цього конуса у нулі.

Доказ. Розглянемо ${ℂ}^3$ як алгебру Лі $𝔰𝔩(2)$ матриць другого порядку зі слідом $0$. Така матриця $M$ називається нільпотентною, коли $M^2=0$. Вирахуючи, маємо:

${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& -a\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& 0\\ 0& bc+(-a{)}^2\end{array}\right)$

Тобто матриця з $𝔰𝔩(2)$ є нільпотентною тоді і тільки тоді, коли вона ліжить на вищезазначеному конусі $𝔑\subset 𝔰𝔩(2)$.

Роздуття квадратичного конуса у нулі є гладкою алгебричною поверхнею, ізоморфною тотальному простору голоморфного кодотичного розшарування проєктивної прямої $ℂ{\mathrm{P}}^1$. Взагалі, дотичним простором $T_{\ell }\mathrm{P}(V)$ до проєктивного простору є простір $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\ell ,V/\ell )$, а кодотичним — спряжений простір $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V/\ell ,\ell )$. Він може бути ототожнений зі підпростором у $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,\ell )$ відображень, що занулюються на $\ell$, а коли $\dim V=2$, це те саме що нільпотентни матриці з ядром $\ell$. Відображення $T^{*}\mathrm{P}(V)\to 𝔑\subset 𝔰𝔩(V)$ є здуттям нулевого перетину кодотичного розшарування.

Тотальний простір кодотичного розшарування є типовим прикладом симплектичного многовиду. Має сенс описати цю структуру більш детально. Коли $X$ є будь-яким многовидом, 1-форма Ліувіля $\lambda$ на $T^{*}X\stackrel{\pi }{\to }X$ визначається як ${\lambda }_{\xi }(v)=\xi ({\pi }_{*}v)$, де $\xi \in T^{*}X$ є кодотичним вектором у якійсь точці на $X$. Канонічна 2-форма визначається як $\omega =d\lambda$.

В термінах нільпотентного конуса, дотичним вектором до $𝔑$ у точці $M$ є матриця $B$ така, що $(M+\epsilon B{)}^2=0mod{\epsilon }^2$, або еквівалентно $MB+BM=0$. Коли $\ell =\ker M$, маємо $B(\ell )\subset \ell$. 1-форма Ліувіля ${\lambda }_M(B)$ визначається як власне значення $B$ на $\ell$.

Щоб переконатися, що обидва відображення $T^{*}ℂ{\mathrm{P}}^1\to 𝔑\leftarrow {ℂ}^2/\iota$ поважають голоморфно симплектичну форму, запишемо матрицю $M\in 𝔑$ у координатах $u,v$:

$\left(\begin{array}{cc}uv& u^2\\ -v^2& -uv\end{array}\right).$

Її ядро породжено вектором $\left(\begin{array}{c}u\\ -v\end{array}\right)$. Прямий розрахунок показує:

$\left(\begin{array}{cc}uv+\delta u\cdot v& u^2+2u\delta u\\ -v^2& -uv-\delta u\cdot v\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u\\ -v\end{array}\right)=-v\delta u\left(\begin{array}{c}u\\ -v\end{array}\right);\left(\begin{array}{cc}uv+u\delta v& u^2\\ -v^2-2v\delta v& -uv-u\delta v\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u\\ -v\end{array}\right)=u\delta v\left(\begin{array}{c}u\\ -v\end{array}\right)$

Іншими словами, 1-форма Ліувіля у координатах $u,v$ виглядає як ${\lambda }_{(u,v)}({\partial }_u)=-v,{\lambda }_{(u,v)}({\partial }_v)=u$, тобто $\lambda =udv-vdu$. Таким чином, канонічна 2-форма виглядає як $d\lambda =2du\wedge dv$, та продовжує цю форму на роздуття конуса. ◻

Конструкція кумерової поверхні

Ернст Кумер

Нехай $A$ є комплексним тором розмірності два, тобто фактором ${ℂ}^2/\mathrm{\Lambda }$. Відображення $\iota :x\to -x$ є інволюцією на $A$, що має 16 нерухомих точок (точок $a\in A$ таких, що $a+a=0_A$). Біля кожної нерухомої точки $\iota$ діє як $x\mapsto -x$ біля $0\in U$, де $U\subset {ℂ}^2$ є малим шаром.

Через це фактор $X=A/\iota$ є комплексним двовимірним многовидом з 16 особливими точками, влаштованих, як було показано вище, як вершини квадратичних конусів. Роздуття кожної особливої точці перетворює $X$ на неособливу поверхню, звану кумеровою поверхнею тору $A$ та позначаєму $\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{m}(A)$. Вона є алгебричною тоді і тільки тоді, коли тор $A$ є алгебричним (тобто абелевою поверхнею).

Кожен тор має голоморфно симплектичну форму $\sigma =du\wedge dv$, єдину з точністю до множення на скаляр. Інволюція $\iota$ змінює знак обох координат, так що $\sigma$ спускається на фактор $X=A/\iota$. Як було показано вище, $\sigma$ продовжується у виняткови криві, що вдуті у 16 особливих точок.

Кумерови поверхні якобієвих поверхонь

Нехай $C$ є кривою роду два, тобто розгалуженим накриттям $C\to ℂ{\mathrm{P}}^1$ зі шістьма точками розгалуження, та $\iota :C\to C$ переставляє листи накриття. Її симетричний квадрат ${\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}^{2}C$ параметризує дивізори ступеня 2 на $C$. Відповідність $D\mapsto 𝒪(D)$ відображує ${\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}^{2}C$ на ${\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}}^2(C)$, простір модулів лінійних розшарувань ступеня 2. За формулою Рімана — Роха, це відображення є здуттям раціональної кривої в точку $K_C\in {\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}}^2(C)$, та взаємно-однозначним в інших точках. Ототожнимо ${\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}}^2(C)$ з тором ${\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}}^0(C)$ як $D\mapsto D-K_C$. Тоді інволюція $x\mapsto -x$ на ${\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}}^0$ ототожнюється з інволюцією $D\mapsto \iota (D)$. Роздуття фактору ${\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}}^2(C)/\iota$ є кумеровою поверхнею $\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{m}$.

Шість зелених прямих, дотичних до кониці

Ця кумерова поверхня $\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{m}$ має ще одну інволюцію: $(x+y)\mapsto (x+\iota (y))$ (зауважимо, що після факторизації по $\iota$ маємо $x+\iota (y)\sim \iota (x+\iota (y))\sim \iota (x)+y$). Точки цього фактору можуть бути ототожнені з дивізорами вигляду $x+\iota (x)+y+\iota (y)$, або еквівалентно дивізорами ступеня 2 на $C/\iota =ℂ{\mathrm{P}}^1$. Таким чином, кумерова поверхня якобієвої поверхні має відображення ступеня 2 на $ℂ{\mathrm{P}}^2={\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}^2ℂ{\mathrm{P}}^1$. Будь-яка K3-поверхня з такою властивістю є подвійним накриттям $ℂ{\mathrm{P}}^2$, розгалуженим у секстиці (тобто плоскій кривій ступіня 6). Але в цьому випадку секстика має спеціальний вигляд: будь-яка точка вигляду $2x+y+\iota (y)$, де $x=\iota (x)$, має тільки один прообраз. Як відомо, при ототожненні ${\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}^2ℂ{\mathrm{P}}^1\to ℂ{\mathrm{P}}^2$ точки вигляду $x+x$ перейдуть у точки на кониці $Q\subset ℂ{\mathrm{P}}^2$, а точки вигляду $x+y$ для фіксованого $x$ — у точки дотичної прямої до $Q$ у точці $x+x$. Стало бути, локус розгалуження накриття $\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{m}\to ℂ{\mathrm{P}}^2$ є об'єднанням шести прямих, дотичних до коники. Розгалужене накриття в особливій кривій має особливу точку у прообразі особливої точки кривої; шість прямих перетинаються у п'ятнадцяти точках, в які вдуваються 15 виняткових кривих. Шістнадцятою винятковою кривою є одна з компонент прообразу вписанної коники.

Інший спосіб геометрично реалізувати кумерову поверхню полягає в наступному. Квартика у $ℂ{\mathrm{P}}^3$, тобто поверхня ступіня 4, може мати не більше ніж 16 квадратичних особливих точок. Нехай $S\subset ℂ{\mathrm{P}}^3$ така поверхня, $O$ одна з її особливих точок, та $\mathrm{\Pi }\subset ℂ{\mathrm{P}}^3$ — проєктивна площина. Тоді пряма $OP$, де $P\in \mathrm{\Pi }$ перетинає $S$ в $O$ з кратністю 2, та ще у двох точках $P^{\prime }$ та $P^{″}$. Тим самим проєкція з квадратичної особливості є подвійним накриттям $ℂ{\mathrm{P}}^2$. П'ятнадцять інших особливих точок проєктуються у п'ятнадцять особливих точок локусу розгалуження цього накриття, а плоска секстика з 15 особливими точками є об'єднанням шести прямих. Граничне положення прямої $OP$ при стрямуванні $P^{\prime }\to O$ є дотичною прямою до квадратичного конуса, так що виняткова крива, що вдута у точку $O$, проєктується в конику, що дотикається до кожної з шести прямих.

Зауважимо, що сама крива $C$ може бути вкладена у ${\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}}^0$ як $x\mapsto x-x_0$, де $x_0$ є нерухомою точкою. Коли $\iota (x_0)=x_0$, маємо $-C=C$, і більше того $-1_{{\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}}^0(C)}{|}_C=\iota$. Таким чином фактор $C/\iota \cong ℂ{\mathrm{P}}^1$ відображується в кумерову поверхню, та перетинає шість виняткових кривих (бо $C\subset {\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}}^0$ проходить через шість нерухомих точок інволюції). Зрушення $C$ на всілякі 15 елементів 2-кручення дають ще 15 раціональних кривих. Цю конфігурацію кривих на кумеровій поверхні досліджував Фелікс Кляйн; вона була вишита на весільній сукні його нареченої Анни Гегель (онуки Ґ. В. Ф. Геґеля).

Узагальнені кумерові многовиди

Арно Бовиль виявив багатовимірні аналоги кумерових поверхонь. З кожним двохвимірним комплексним тором $A$ можна зв'язати його схему Гільберта ${\mathrm{H}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{b}}^n(A)$, параметризуючу підсхеми $A$ з носієм із $n$ точок з урахуванням кратності. Вона допускає відображення ${\mathrm{H}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{b}}^n(A)\to A$, $\{x_1,\dots ,x_n\}\mapsto \sum _{i=1}^n{x}_i$. Його шар понад $0_A\in A$ є однозв'язним голоморфно симплектичним многовидом комплексної розмірності $2n-2$, званим узагальненим кумеровим многовидом: при $n=2$ маємо шар понад $0_A$ із пар $\{a,-a\}$, що еквівалентно роздуттю фактору $A/\pm 1$.

Джерела

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation