Круг Мора

Круг Мора (круг напружень) — графічний метод визначення напружень при складному плоскому напруженому стані. Розроблений Мором О. Х. для більш наочного розв'язання задач з теорії напруженого стану. Круг Мора використовують для розв'язання прямої та оберненої задачі.

Пряма задача

Постановка питання

Потрібно графічним методом розв'язати задачу в якій розглядаєм точку в плоскому напруженому стані, де відомо положення головних площин і відповідні до них головні напруження. Потрібно знайти нормальні і дотичні напруження, що діють на площинах, які нахилені під заданим кутом $\alpha$ до головних.

Розв'язання

На графіку $\sigma \sim \tau$ відкладають відрізки в певному масштабі: $𝑂𝐴={\sigma }_1$ та $𝑂𝐵={\sigma }_2$.Знаходимо т.$𝐶$ як центр відрізка $𝐴𝐵$ і будуємо круг Мора як показано на малюнку. Потім із центра відкладаємо кут $2\alpha$ на перетині промення із колом буде точка ${𝐷}_{\mathit{\alpha }}$. Ордината точки ${𝐷}_{\mathit{\alpha }}$ буде дотичне напруження ${\tau }_{\alpha }$ а абсциса нормальне напруження ${\sigma }_{\alpha }$. Аналогічно знаходиться напруження у площині $\beta$.Слід мати на увазі що площини $\beta$ $\alpha$ взаємно перпендикулярні.

Файл:Krug mora.jpg

Круг Мора (пряма задача)

Файл:Krug Mora 2.jpg

Круг Мора(обернена задача)

Обернена задача

Постановка питання

Потрібно графічним методом розв'язати задачу в якій розглядаєм точку в плоскому напруженому стані, де відомі нормальні і дотичні напруження ${\sigma }_{\alpha }{\tau }_{\alpha }{\sigma }_{\beta }{\tau }_{\beta }$ на взаємно перпендикулярних площинах. Потрібно визначити головні напруження і положення головних площин.

Розв'язання

У геометричній площині в системі координат $\sigma \sim \tau$ виберемо т.${𝐷}_{\mathit{\alpha }}$ з координатами ${\sigma }_{\alpha }{\tau }_{\alpha }$ та т.${𝐷}_{\mathit{\beta }}$ з координатами ${\sigma }_{\beta }{\tau }_{\beta }$.Сполучивши ці дві точки, знаходимо центр круга Мора — т.$𝐶$ тоді проводимо коло радіусом $𝐶{𝐷}_{\mathit{\alpha }}$.Таким чином перетини кола з вісю абсцис будуть головні напруження ${\sigma }_1$ та ${\sigma }_2$. Для знаходження положення головних площин знаходять полюс $𝑀$, який знаходиться на перетині кола і горизонтальної лінії проведеної із точки ${𝐷}_{\mathit{\alpha }}$. Сполучивши полюс із точками $𝐴$ та $𝐵$, дістанемо напрям головних напружень ${\sigma }_1$ та ${\sigma }_2$.

Див. також

• Georg Mohr — Круг Мора
• Мор Отто Христіан — графічний метод визначення напружень