Критерій Фрідмана

Критерій Фрідмана (Шаблон:Lang-en) — непараметричний статистичний тест. Його було названо на честь американського економіста Мілтона Фрідмана, який його розробив, і в 1937 році опублікував у журналі Шаблон:Не перекладено. Він є узагальненням критерію Уілкоксона і застосовується для зіставлення $c$ умов вимірювання ($c⩾3$) для $n$ об'єктів спостереження. Тест Фрідмана активно застосовується в прикладних сатистико-аналітичних розрахунках і підтримується багатьма пакетами прикладних програм таких, як SPSS, R та інші.

Гіпотетична задача

Нехай ми маємо статистичну вибірку, що включає $c$ вимірювань для кожного з $n$ параметрів, які ми вивчаємо. Дані вибірки подано у формі таблиці:

	Умови
№ об'єкта	$1$	$2$	$\dots$	$c$
$1$	$x_{11}$	$x_{21}$	$\dots$	$x_{c1}$
$2$	$x_{12}$	$x_{22}$	$\dots$	$x_{c2}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$\ddots$	$⋮$
$n$	$x_{1n}$	$x_{2n}$	$\dots$	$x_{cn}$

У якості нульової гіпотези $H_0$ розглядається наступна: «між отриманими в різних умовах вимірюваннями є лише випадкові відмінності». Вибирається рівень значущості $\alpha$, наприклад, $\alpha =0,01$ (імовірність помилкового відхилення нульової гіпотези).

Перевірка гіпотези

Для перевірки гіпотези побудуємо пострічково таблицю рангів. При цьому отримаємо ранги $r_{ij}$ об'єкта $x_{ij}$ при ранжуванні $x_{1j},x_{2j},\dots ,x_{cj}$

	Ранги
№ об'єкта	$1$	$2$	$\dots$	$c$
$1$	$r_{11}$	$r_{21}$	$\dots$	$r_{c1}$
$2$	$r_{12}$	$r_{22}$	$\dots$	$r_{c2}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$\ddots$	$⋮$
$n$	$r_{1n}$	$r_{2n}$	$\dots$	$r_{cn}$

У результаті ми отримаємо суми рангів і введемо інші позначення:

$R_i=\sum _{j=1}^n{r}_{ij}$

${\overline{R}}_i=\frac{R_i}{n}$

$\overline{\overline{R}}=\frac{c+1}{2}$

Для перевірки гіпотези використаємо «емпіричне значення критерію»:

$S=\frac{12n}{c(c+1)}\sum _{i=1}^c({\overline{R}}_i-\overline{\overline{R}}{)}^2$,

Її ж можна представити і в такому вигляді:

$S=\frac{12}{nc(c+1)}\sum _{i=1}^c{R}_i^2-3n(c+1)$

Нульова гіпотеза приймається за умови, якщо "критичне значення критерію" буде більшим, ніж емпіричне:

$S<S_{\alpha }(n,c)$

Для малих значень $n$ і $c$ для критичного значення критерію Фрідмана існують спеціальні таблиці для різних значень рівня значимості $\alpha$ (або довірчої ймовірності $1-\alpha$).

Для $n⩾13$ і $c⩾20$ застосовується апроксимація — $\alpha$-Квантилі розподілу хі-квадрат з ступенями вільності $c-1$:

$S_{\alpha }(n,c)\approx {\chi }_{\alpha }^2(c-1)$

Джерела

• Bruce M. King, Edward W. Minium, Statystyka dla psychologów i pedagogów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, s. 576.
• Daniel, Wayne W. (1990). "Friedman two-way analysis of variance by ranks". Applied Nonparametric Statistics (2nd ed.). Boston: PWS-Kent. pp. 262–74. ISBN 978-0-534-91976-4.
• Hollander, M.; Wolfe, D. A. (1973). Nonparametric Statistics. New York: J. Wiley. ISBN 978-0-471-40635-8.
• The Friedman Two-Way Analysis of Variance by Ranks. In: David Sheskin: Handbook of Parametric and Nonparametric Statistical Procedures. Vierte Auflage. CRC Press, Boca Raton 2007, ISBN 1-58-488814-8, S. 1075–1088.

Посилання

• Критерій Фрідмана Шаблон:Webarchive
• Критерий Фридмана Шаблон:Webarchive