Континуанта (математика)

В алгебрі, континуанта —це многочлен, що представляє визначник тридіагональної матриці і застосовується в узагальнених неперервних дробах.

Означення

n-а континуанта $K_n(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ рекурсивно визначається так

$K_0=1;$

$K_1(x_1)=x_1;$

$K_n(x_1,x_2,\dots ,x_n)=x_n{K}_{n-1}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-1})+K_{n-2}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-2}).$

Властивості

• Континуанту $K_n(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ можна обчислити взявши суму всіх можливих добутків x₁,...,x_n, в яких вилучена будь-яка кількість неперетинних пар послідовних елементів (Правило Ейлера). Наприклад,

  $K_5(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=x_1{x}_2{x}_3{x}_4{x}_5+x_3{x}_4{x}_5+x_1{x}_4{x}_5+x_1{x}_2{x}_5+x_1{x}_2{x}_3+x_1+x_3+x_5.$

З цього випливає, що континуанти інваріантні щодо обернення порядку невідомих: $K_n(x_1,\dots ,x_n)=K_n(x_n,\dots ,x_1).$

• Континуанту можна обчислити як визначник тридіагональної матриці:

  $K_n(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\det \left(\begin{array}{ccccc}{x}_1& 1& 0& \cdots & 0\\ -1& x_2& 1& \ddots & ⋮\\ 0& -1& \ddots & \ddots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & 1\\ 0& \cdots & 0& -1& x_n\end{array}\right).$

• $K_n(1,\dots ,1)=F_{n+1}$, це (n+1)-ше число Фібоначчі.
• $\frac{K_n(x_1,\dots ,x_n)}{K_{n-1}(x_2,\dots ,x_n)}=x_1+\frac{K_{n-2}(x_3,\dots ,x_n)}{K_{n-1}(x_2,\dots ,x_n)}.$
• Співвідношення континуант представляє (підхідні дроби) неперервний дріб так:

  $\frac{K_n(x_1,\dots ,x_n)}{K_{n-1}(x_2,\dots ,x_n)}=[x_1;x_2,\dots ,x_n]=x_1+\frac{1}{x_2+\frac{1}{x_3+\dots }}.$

• Виконується така матрична тотожність:

  $\left(\begin{array}{cc}{K}_n(x_1,\dots ,x_n)& K_{n-1}(x_1,\dots ,x_{n-1})\\ K_{n-1}(x_2,\dots ,x_n)& K_{n-2}(x_2,\dots ,x_{n-1})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\times \dots \times \left(\begin{array}{cc}{x}_n& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

  • Для визначників це означає, що

    $K_n(x_1,\dots ,x_n)\cdot K_{n-2}(x_2,\dots ,x_{n-1})-K_{n-1}(x_1,\dots ,x_{n-1})\cdot K_{n-1}(x_2,\dots ,x_n)=(-1{)}^n.$

  • і також

    $K_{n-1}(x_2,\dots ,x_n)\cdot K_{n+2}(x_1,\dots ,x_{n+2})-K_n(x_1,\dots ,x_n)\cdot K_{n+1}(x_2,\dots ,x_{n+2})=(-1{)}^{n+1}{x}_{n+2}.$

Узагальнення

Узагальнене визначення визначає континуанту за допомогою трьох послідовностей a, b і c, так що K(n) є многочленом від a₁,...,a_n, b₁,...,b_n−1 і c₁,...,c_n−1. Тут рекурентне співвідношення набуває вигляду

$K_0=1;$

$K_1=a_1;$

$K_n=a_n{K}_{n-1}-b_{n-1}{c}_{n-1}{K}_{n-2}.$

Оскільки b_r і c_r входять в K лише як добуток b_rc_r, то без втрати загальності можна вважати, що всі b_r рівні 1.

Узагальнена котинуанта є визначником тридіагональної матриці

$\left(\begin{array}{cccccc}{a}_1& b_1& 0& \dots & 0& 0\\ c_1& a_2& b_2& \dots & 0& 0\\ 0& c_2& a_3& \dots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & a_{n-1}& b_{n-1}\\ 0& 0& 0& \dots & c_{n-1}& a_n\end{array}\right).$

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book