Когомологія Чеха

У математиці когомологією Чеха називається когомологічна теорія, що базується на властивостях перетинів відкритих покриттів топологічного простору. Названа на честь чеського математика Едуарда Чеха.

Ідея побудови полягає в тому, що, якщо покриття простору складено з досить маленьких множин, то когомології нерва покриття є хорошою апроксимацією когомологій самого простору.

Побудова

Нехай X — топологічний простір і $ℱ$ — передпучок абелевих груп на X і $𝒰$ — відкрите покриття X.

Симплекс

q-симплексом σ із $𝒰$ називається впорядкована множина q+1 множин із покриття $𝒰$, перетин яких є непустою множиною. Цей перетин називається носієм σ і позначається |σ|.

Для такого симплекса $\sigma =(U_i{)}_{i\in \{0,\dots ,q\}}$ j-ю частковою границею за означенням є (q−1)-симплекс одержаний видаленням j-ї множини із σ, тобто:

${\partial }_j\sigma :=(U_i{)}_{i\in \{0,\dots ,q\}\setminus \{j\}}.$

Границею симплекса σ називається знакозмінна сума часткових границь:

$\partial \sigma :=\sum _{j=0}^q(-1{)}^{j+1}{\partial }_j\sigma$

що розглядається як елемент вільної абелевої групи породженої симплексами із $𝒰$.

Коланцюг

q-коланцюгом $𝒰$ з коефіцієнтами у $ℱ$ називається відображення, що зіставляє q-симплексу σ елемент $ℱ(|\sigma |).$ Множина всіх q-коланцюгів із $𝒰$ з коефіцієнтами у $ℱ$ позначається $C^q(𝒰,ℱ)$ і є абелевою групою із поточковим додаванням.

Диференціал

Коланцюги можна перетворити у коланцюговий комплекс $(C^{\bullet }(𝒰,ℱ),\delta )$ за допомогою кограничного оператора ${\delta }_q:C^q(𝒰,ℱ)\to C^{q+1}(𝒰,ℱ)$ заданого як:

$({\delta }_{q}f)(\sigma ):=\sum _{j=0}^{q+1}(-1{)}^j{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{|\sigma |}^{|{\partial }_j\sigma |}f({\partial }_j\sigma ),$

де ${\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{|\sigma |}^{|{\partial }_j\sigma |}$ є гомоморфізмом обмеження у передпучку із групи $ℱ(|{\partial }_j\sigma |)$ у групу $ℱ(|\sigma |).$

Для введеного відображення виконується ${\delta }_{q+1}\circ {\delta }_q=0.$

Кограничний оператор є аналогічним до зовнішньої похідної у когомології де Рама і тому його часто називають диференціалом коланцюгового комплексу.

Коцикл

q-коланцюг називається q-коциклом якщо він належить ядру відображення $\delta$ і $Z^q(𝒰,ℱ):=\ker ({\delta }_q)\subseteq C^q(𝒰,ℱ)$ позначає множину всіх q-коциклів.

(q−1)-коланцюг $f$ є коциклом якщо для всіх q-симплексів $\sigma$ виконується умова

$\sum _{j=0}^q(-1{)}^j{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{|\sigma |}^{|{\partial }_j\sigma |}f({\partial }_j\sigma )=0$

0-коцикл $f$ є множиною локальних перетинів у $ℱ,$ що узгоджуються на всіх перетинах множин $A,B\in 𝒰$

$f(A){|}_{A\cap B}=f(B){|}_{A\cap B}$

1-коцикл $f$ для кожної непустої множини $U=A\cap B\cap C$ де $A,B,C\in 𝒰$ задовольняє умову

$f(B\cap C){|}_U-f(A\cap C){|}_U+f(A\cap B){|}_U=0$

Кограниця

q-коланцюг називається q-кограницею якщо він належить образу $\delta .$ Множина всіх кограниць позначається $B^q(𝒰,ℱ):=\mathrm{I}\mathrm{m}({\delta }_{q-1})\subseteq C^q(𝒰,ℱ).$

1-коланцюг $f$ є 1-кограницею якщо існує 0-коланцюг $h$ для якого для всіх множин $A,B\in 𝒰$ із непустим перетином

$f(A\cap B)=h(A){|}_{A\cap B}-h(B){|}_{A\cap B}$

Когомологія

Когомологія Чеха покриття $𝒰$ із значеннями у $ℱ$ є когомологією коланцюгового комплексу $(C^{\bullet }(𝒰,ℱ),\delta )$. Зокрема q-та когомологія Чеха є рівною

${\check{H}}^q(𝒰,ℱ):=H^q((C^{\bullet }(𝒰,ℱ),\delta ))=Z^q(𝒰,ℱ)/B^q(𝒰,ℱ)$.

Означення когомології Чеха простору X дається із використанням поняття подрібнення покриття. Нехай $𝒰=(U_i{)}_{i\in I}$ і $𝒱=(V_j{)}_{j\in J}$ є двома відкритими покриттями простору X із множинами індексів I і J. Покриття $𝒱$ називається подрібненням покриття $𝒰,$ якщо існує таке відображення $r:J\to I$ таке, що для всіх $j\in J$ виконується $V_j\subseteq U_{r(j)}.$ Два покриття $𝒰$ і $𝒱$ називаються еквівалентними, якщо кожне є подрібненням іншого.

Кожне відображення подрібнення r задає відображення ${\check{C}}^{*}(𝒰,ℱ)\to {\check{C}}^{*}(𝒱,ℱ)$ індуковане відображеннями обмеження ${\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{V_j}^{U_{r(j)}}f(U_{r(j)}).$

Дане відображення загалом залежить від r, проте індуковане відображення когомологій ${\check{H}}^{*}(𝒰,ℱ)\to {\check{H}}^{*}(𝒱,ℱ)$ є однозначно визначеним для всіх подрібнень.

Відкриті покриття простору X загалом відкриті покриття простору утворюють клас, а не множину. Проте кожне покриття є еквівалентним покриттю в якому кожна множина зустрічається лише 1 раз і таке покриття є проіндексованим підмножиною булеану 2^X. Розглядаючи лише такі відкриті покриття одержується направлена множина щодо подрібнень, і разом із введеними вище відображеннями когомологій утворюється направлена система абелевих груп.

Когомологією Чеха простору X зі значеннями у $ℱ$ називається індуктивна границя по цій направленій системі:

${\check{H}}^{*}(X,ℱ):=\underset{𝒰}{\underrightarrow{\lim }}{\check{H}}^{*}(𝒰,ℱ)$.

Когомологією Чеха простору X із коефіцієнтами в абелевій групі A (позначається $\check{H}(X;A)$) є за означенням $\check{H}(X,{ℱ}_A)$ де ${ℱ}_A$ є сталий пучок на X заданий A.

Властивості

• ${\check{H}}^{*}(X,-)$ є точним $\delta$-функтором із категорії передпучків у категорію абелевих груп.
• ${\check{H}}^{*}(X,-)$ є правим похідним функтором функтора ${\check{H}}^0(X,-).$
• Якщо $ℱ$ є пучком абелевих груп то ${\check{H}}^0(X,ℱ)\cong ℱ(X).$
• Якщо $ℱ$ є ін'єктивним пучком абелевих груп (тобто ін'єктивним об'єктом у категорії пучків абелевих груп) то для всіх n > 0 ${\check{H}}^n(X,ℱ)=0.$

Зв'язок із іншими когомологічними теоріями

Якщо X є гомотопно еквівалентним CW комплексу, то когомологія Чеха ${\check{H}}^{*}(X;A)$ є натурально ізоморфною сингулярній когомології $H^{*}(X;A)$.

Якщо X є диференційовним многовидом, то ${\check{H}}^{*}(X;ℝ)$ є натурально ізоморфною когомології де Рама.

Для менш хороших топологічних просторів, когомологія Чеха відрізняється від сингулярної когомології. Наприклад якщо X є топологічним синусом, то ${\check{H}}^1(X;\mathbb{Z})=\mathbb{Z},$ проте $H^1(X;\mathbb{Z})=0.$

Якщо X є диференційовним многовидом і покриття $𝒰$ X є "хорошим" (тобто всі множини U_α є стягуваними і всі скінченні перетини множин із $𝒰$ є порожніми або стягуваними), то ${\check{H}}^{*}(𝒰;ℝ)$ є ізоморфною когомології де Рама.

Якщо X є компактним гаусдорфовим простором, то когомологія Чеха (із коефіцієнтами у дискретній групі) є ізоморфною когомології Александера — Спаніера.

Посилання

• Jean Gallier and Jocelyn Quaintance. A Gentle Introduction to Homology, Cohomology, andSheaf Cohomology Шаблон:Webarchive

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation