Задача про стопку цегли

Зсув дев'яти блоків «похилої вежі лір»

Задача про стопку цегли, завдання про стопці цегли, також відома як проблема укладання блоків (Шаблон:Lang-en), похила вежа лір (Шаблон:Lang-en), задача про складання книг і т.п. — задача статики, яка полягає в укладанні прямокутних блоків у вежу, як умога далі похилену в сторону.

Формулювання

Проблема формулюється наступним чином: Шаблон:Початок цитатиПоставити один на один $N$ однакових твердих прямокутних паралелепіпедів, зібравши стійку вежу на краю стола таким чином, щоб виступ за край був максимальнийШаблон:Кінець цитати

Історія

Стопка монет: верхня монета знаходиться над областю, яка повністю знаходиться поза найнижчою монетою

Задача про стопку цегли має довгу історію як в механіці, так і в математиці. У своїх статтях Шаблон:Не перекладено і його співавтори надаютьШаблон:Sfn довгий список посилань на цю проблему, про яку йдеться в роботах з механіки, що відносяться до середини XIX століття.

Рішення

З тільки одним блоком на кожному рівні

В ідеальному випадку з тільки одним ідеально прямокутним блоком на кожному рівні звисання дорівнює

$\sum _{i=1}^N\frac{1}{2i}$

ширини блоку. Ця сума складає половину часткової суми гармонійного ряду. Оскільки гармонійний ряд розходиться, максимальне звисання прямує до нескінченності з ростом

$N$

, тобто можна досягти будь-якого завгодно великого звису при достатній кількості блоків. У кожному конкретному випадку максимальне звис приблизно дорівнює

$\frac{1}{2}\ln N$

, тобто пропорційний натуральному логарифму числа блоків.

N	Максимальний звис
	Дріб		Десятинний запис	Відносний розмір
1	1	/2	Шаблон:Bartable
2	3	/4	Шаблон:Bartable
3	11	/12	~Шаблон:Bartable
4	25	/24	~Шаблон:Bartable
5	137	/120	~Шаблон:Bartable
6	49	/40	Шаблон:Bartable
7	363	/280	~Шаблон:Bartable
8	761	/560	~Шаблон:Bartable
9	7 129	/5 040	~Шаблон:Bartable
10	7 381	/5 040	~Шаблон:Bartable

N	Максимальний звис
	Дріб		Десятинний запис	Відносний розмір
11	83 711	/55 440	~Шаблон:Bartable
12	86 021	/55 440	~Шаблон:Bartable
13	1 145 993	/720 720	~Шаблон:Bartable
14	1 171 733	/720 720	~Шаблон:Bartable
15	1 195 757	/720 720	~Шаблон:Bartable
16	2 436 559	/1 441 440	~Шаблон:Bartable
17	42 142 223	/24 504 480	~Шаблон:Bartable
18	14 274 301	/8 168 160	~Шаблон:Bartable
19	275 295 799	/155 195 040	~Шаблон:Bartable
20	55 835 135	/31 039 008	~Шаблон:Bartable

N	Максимальний звис
	Дріб		Десятинний запис	Відносний розмір
21	18 858 053	/10 346 336	~Шаблон:Bartable
22	19 093 197	/10 346 336	~Шаблон:Bartable
23	444 316 699	/237 965 728	~Шаблон:Bartable
24	1 347 822 955	/713 897 184	~Шаблон:Bartable
25	34 052 522 467	/17 847 429 600	~Шаблон:Bartable
26	34 395 742 267	/17 847 429 600	~Шаблон:Bartable
27	312 536 252 003	/160 626 866 400	~Шаблон:Bartable
28	315 404 588 903	/160 626 866 400	~Шаблон:Bartable
29	9 227 046 511 387	/4 658 179 125 600	~Шаблон:Bartable
30	9 304 682 830 147	/4 658 179 125 600	~Шаблон:Bartable

З кількома блоками на будь-якому з рівнів

Порівняння рішень задачі з трьома блоками, з одним (зверху) і декількома (знизу) блоками на рівні

Додаткові блоки на рівні можуть використовуватися як противага і давати більше звисання, ніж варіант з одним блоком на рівні. Навіть для трьох блоків, укладання двох врівноважених блоків поверх іншого блоку, може дати звис в один блок, в той час як в простому ідеальному випадку — не більше $\frac{11}{12}$. У 2007 році Майк Патерсон з співавторами показали, що максимальний звис, який може бути досягнутий за допомогою декількох блоків на рівні, асимптотично дорівнює $c\sqrt[3]{N}$, тобто пропорційний кубічному кореню з числа блоків, на відміну від простого випадку, коли звис пропорційний логарифму кількості блоків.

Див. також

• Черв'яки Патерсона

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Публікація