Задача Штурма — Ліувілля

Надалі введено позначення Задача Штурма-Ліувілля — ЗШЛ.
Розглянемо оператор $Lu=-\frac{d}{dx}(p(x)\frac{du}{dx})+q(x)u$,
перепишемо його у вигляді: $Lu=\lambda \rho (x)u,x\in (a,b)$ та введемо додаткові умови $[A_{1}u(a)-A_2{u}^{\prime }(a)=0,B_{1}u(b)+B_2{u}^{\prime }(b)=0]$.
Надалі будемо вважати, що $p(x)\in {𝐶}^1([a,b]),q(x),\rho (x)\in 𝐶([a,b]),$ крім того, $p(x)>0,\rho (x)>0,q(x)⩾0,A_1,A_2,B_1,B_2=const,A_1,A_2⩾0,A_1+A_2>0,B_1,B_2⩾0,B_1+B_2>0$

Формулювання ЗШЛ

Знайти значення параметра $\lambda$ при яких існують нетривіальні розв'язки задачі $Lu=\lambda \rho (x)u,x\in (a,b)$, $[A_{1}u(a)-A_2{u}^{\prime }(a),B_{1}u(b)+B_2{u}^{\prime }(b)],$ такі, що $u(x)\in {𝐶}^2((a,b))\cap {𝐶}^1([a,b])$ і знайти ці розв'язки.
Введемо область визначення оператора $L$:
$D_L=u\in {𝐶}^2((a,b))\cap {𝐶}^1([a,b])$, які задовольняють крайові умови
$[A_{1}u(a)-A_2{u}^{\prime }(a)=0,B_{1}u(b)+B_2{u}^{\prime }(b)=0]$, і такі, що $u^{″}\in L_2(a,b)$.

Властивості оператора $L$ ЗШЛ

1. Якщо довільні функції $u,v$ належать області $D_L$ , то має місце рівність:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(vLu-uLv)dx=0$.

1. Оператор $L$ ЗШЛ є самоспряженим, тобто $\mathrm{\forall }u,v\in D_L$ виконується $(Lu,v)=(u,Lv)$.
2. Оператор $L$ ЗШЛ є додатньовизначеним: $(Lu,u)⩾0$.

Власні значення та власні функції ЗШЛ

Вказані вище значення параметра $\lambda$ називається власними значеннями ЗШЛ, а відповідні їм розв'язки — власними функціями цієї задачі.

Основні властивості власних значень і власних функцій ЗШЛ

1. Власні значення ЗШЛ утворюють зліченну множину.
2. Власні функції, які відповідають різним власним значенням, ортогональні між собою з вагою $\rho (x)$, тобто $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\rho (x)u_1(x)u_2(x)dx=0$, де $u_1(x),u_2(x)$ — власні функції.
3. Власні значення ЗШЛ — дійсні та невід'ємні.
4. Власні значення ЗШЛ — прості, тобто одному власному значенню не може відповідати дві і більше лінійно незалежних власних функції.
5. Власні функції ЗШЛ можна вибрати дійсними.