Задача Фараона

Задача Фараона — одна з задач математики. Задача була поставлена в 8 столітті до н. е. Розв'язанням цієї задачі займались провідні математики минулого.

Надалі було знайдено математичний метод вирішення задачі. Відповіддю є ірраціональне алгебраїчне число, яке є коренем рівняння 8 степеня.

Умова

На дно колодязя опустили дві палиці довжиною 2 м і 3 м так, щоб вони перетиналися. Відстань від їх перетину до дна становить 1 м. Знайти діаметр основи.

Розв'язок

В задачі, попри просте формулювання, точний розв'язок знайти важко.

Легко звести задачу до знаходження додатнього кореня рівняння $\frac{1}{\sqrt{9-d^2}}+\frac{1}{\sqrt{4-d^2}}=1$ (За теоремою Піфагора і властивостями подібних трикутників отримаємо дві пропорції: $\frac{\sqrt{9-d^2}}{d}=\frac{1}{x}$   (1)  та  $\frac{\sqrt{4-d^2}}{d}=\frac{1}{d-x}$   (2). З пропорції (1): $x=\frac{d}{\sqrt{9-d^2}}$ . Підставимо значення $x$ в (2), отримаємо $\frac{\sqrt{4-d^2}}{d}=\frac{1}{d-\frac{d}{\sqrt{9-d^2}}}$ . Перетворюючи останнє рівняння, отримаємо $\frac{1}{\sqrt{9-d^2}}+\frac{1}{\sqrt{4-d^2}}=1$). Далі будь-якою підстановкою, що знижує степінь (наприклад, $d^2=t+6,5$) рівняння перетворюється на рівняння четвертого степеня, яке розв'язується, наприклад, методом Феррарі і за допомогою формули Кардано.

В результаті виходить відповідь $d\approx 1,23119\dots$.