Задача Майєра

Зада́ча Ма́йєра  — варіаційна задача з рухомими кінцями і диференціальними зв'язками. Формулюється так: серед кривих $y(x)$, що задовольняють диференціальним рівнянням

$x_1\le x\le x_2,y=(y_1,\dots ,y_n),i=1,\dots ,m,m<n$ і граничним умовам

${\phi }_i(x_1,y(x_1))=0,i=1,,\dots ,k,k\le n+1(2)$

${\eta }_j(x_2,y(x_2))=0,j=1,,\dots ,p,p\le n+1(2)$

знайти таку криву, яка дає мінімум функціоналу $I=g(x_1,y(x_1),x_2,y(x_2))$

При цьому функції $y$, ${\mathrm{\Phi }}_i$, ${\phi }_i$, ${\eta }_j$, $g$ повинні задовольняти певним вимогам гладкості. Рівняння (2), (3) визначають в $n+1$мірному просторі деякі поверхні $S_1$ і $S_2$. Одна з них (наприклад, $S_1$) може вироджуватися в точку. У цьому випадку задача Майєра є задачею з одним фіксованим і одним рухомим кінцями. Майєра задача збігається з задачею Больци, якщо в останній у функціоналі функція $f\equiv 0$. Тоді і вся теорія задачі Больца повністю переноситься на задачу Майєра. Зокрема, для Майєра задачі справедливе правило множників і всі наслідки, що випливають з нього, — умови трансверсальности, рівняння Ойлера і умови Веєрштрасса — Ердмана для кутових точок. Якщо розглядати криві ($y_1(x),\dots ,y_n(x)$), що задовольняють умови (1—3) і, крім того, умовам $y_n(x)=0$ $y_n(x)\times (x_2-x_1)=g$, і записати $I$ у вигляді $I=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}{y}_{n+1}(x)dx$ то у такому вигляді Майєра задача еквівалентна задачі Лагранжа.

Ю. М. Данилін

Література

• Шаблон:ЕК
• Див. також літ-ру до статті Варіаційне числення