Задача Бернштейна

Шаблон:Без джерел Задача Бернштейна — задача про графік функції, що є мінімальною поверхнею. Названа на честь Сергія Натановича Бернштейна, який вирішив 2-вимірний випадок цієї задачі в 1914 році.

Задача Бернштейна виявилася тісно пов'язаною з питанням існування негладких мінімальних гіперповерхонь у відповідній розмірності.

Формулювання

За яких $n$ графік функції, визначеної на всьому ${ℝ}^n$, що є мінімальною поверхнею в ${ℝ}^{n+1}$, мусить бути плоским?

Відповідь: це правильно при $n⩽7$ і неправильно при $n⩾8$. Відповідний приклад функції $f:{ℝ}^n\to ℝ$ можна знайти серед функцій виду

$f(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8)=F(u,v)$,

де

$u=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2},\text{і}v=\sqrt{x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2}.$

Зауваження

Задача Бернштейна виявилася прямо пов'язаною з питанням існування в ${ℝ}^n$ неплоского конуса, що мінімізує площу. Конкретним прикладом такої гіперповерхні є поверхня

$\{x\in {ℝ}^8:x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2\}$.