Диференціальне рівняння Бернуллі

Диференціальне рівняння Бернуллі — диференціальне рівняння вигляду:

$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n$, n≠1, 0.

назване на честь Якоба Бернуллі.

Метод розв'язку

1. Поділимо ліву і праву частини на $y^n$

$\frac{y^{\prime }}{y^n}+\frac{P(x)}{y^{n-1}}=Q(x).$

2. Зробимо заміну

$w=\frac{1}{y^{n-1}}$

$w^{\prime }=\frac{(1-n)}{y^n}{y}^{\prime }$

3. Розв'язуємо диференціальне рівняння

$\frac{w^{\prime }}{1-n}+P(x)w=Q(x)$

Його можна розв'язати за допомогою інтегрувального множника

$M(x)=e^{(1-n)\int P(x)dx}.$

Приклад

$y^{\prime }-\frac{2y}{x}=-x^2{y}^2$

Поділимо на $y^2$

$y^{\prime }{y}^{-2}-\frac{2}{x}{y}^{-1}=-x^2$

Заміна змінних

$w=\frac{1}{y}$

$w^{\prime }=\frac{-y^{\prime }}{y^2}.$

$w^{\prime }+\frac{2}{x}w=x^2$

$M(x)=e^{2\int \frac{1}{x}dx}=x^2.$

Помножимо на $M(x)$,

$w^{\prime }{x}^2+2xw=x^4,$

$\int (w{x}^2{)}^{\prime }dx=\int x^{4}dx$

$w{x}^2=\frac{1}{5}{x}^5+C$

$\frac{1}{y}{x}^2=\frac{1}{5}{x}^5+C$

Результат

$y=\frac{x^2}{\frac{1}{5}{x}^5+C}$

Див. також

• Рівняння Ріккаті

Література

• Шаблон:Самойленко.Перестюк.Парасюк.Диференціальні рівняння