Гребінець Дірака

Гребінець Дірака — нескінченний ряд

Гребінець Дірака це періодичний розподіл Шварца, що сконструйований з дельта-функцій

${\mathrm{\Delta }}_T(t)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-kT)$

для якогось періоду T.

Ряди Фур'є

Очевидно, що Δ_T(t) періодична з періодом T. Тому

${\mathrm{\Delta }}_T(t+T)={\mathrm{\Delta }}_T(t)$

для всіх t. Комплексний ряд Фур'є для такої періодичної функції

${\mathrm{\Delta }}_T(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{i2\pi nt/T}$

де коефіцієнти Фур'є, c_n є

$c_n$	$=\frac{1}{T}\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\int }}{\mathrm{\Delta }}_T(t)e^{-i2\pi nt/T}dt(-\mathrm{\infty }<t_0<+\mathrm{\infty })$
	$=\frac{1}{T}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}{\mathrm{\Delta }}_T(t)e^{-i2\pi nt/T}dt$
	$=\frac{1}{T}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}\delta (t)e^{-i2\pi nt/T}dt$
	$=\frac{1}{T}{e}^{-i2\pi n0/T}$
	$=\frac{1}{T}.$

Всі коефіцієнти Фур'є є 1/T тому

${\mathrm{\Delta }}_T(t)=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i2\pi nt/T}$.

Посилання

• Шаблон:Citation; 1st ed. 1965, 2nd ed. 1978.
• Шаблон:Citation