Властивість розширення гомотопії

У математиці в області алгебричної топології властивість розширення гомотопії (або властивість продовження гомотопії) вказує, які гомотопії, задані на підпросторі, можуть бути розширені до гомотопії, заданої на більшому просторі. Властивість подовження гомотопії кофібрацій є двоїстою властивості підняття гомотопії, яка використовується для означення фібрацій .

Означення

Нехай $X$ є топологічним простором і нехай $A\subset X.$ Пара просторів $(X,A)$ має властивість розширення гомотопії, якщо, для гомотопії $f_t:A\to Y$ і неперервного відображення $F_0:X\to Y$ для якого $F_0{|}_A=f_0,$ існує розширення $F_t:X\to Y$ таке, що $F_t{|}_A=f_t.$

Тобто, пара $(X,A)$ має властивість розширення гомотопії, якщо відображення $G:((X\times \{0\})\cup (A\times I))\to Y$ можна поширити на відображення $G^{\prime }:X\times I\to Y$ (тобто $G$ і $G^{\prime }$ є рівними там де вони обидва є визначеними).

Якщо пара має таку властивість лише для певного кодомену $Y,$ то кажуть, що $(X,A)$ має властивість розширення гомотопії щодо $Y.$

Візуалізація

Властивість розширення гомотопії зображена на наступній схемі:

Якщо ця діаграма (без пунктирної стрілки) є комутативною (що еквівалентно умовам, наведеним вище), то пара $(X,A)$ має властивість розширення гомотопії, якщо існує відображення $\tilde{f},$ що робить усю діаграму комутативною. За допомогою каррінга відображення $\tilde{f}:X\to Y^I$ відповідає відображенню $\tilde{f}:X\times I\to Y.$

Діаграма вище є двоїстою діаграмі властивості підняття гомотопії. Ця двоїстість називається двоїстістю Екмана-Хілтона.

Властивості

• Якщо $X$ є клітинним комплексом і $A$ його підкомплексом, то пара $(X,A)$ задовольняє властивість розширення гомотопії.
• Пара $(X,A)$ має властивість розширення гомотопії, тоді і лише тоді коли $(X\times \{0\}\cup A\times I)$ є ретрактом $X\times I.$

Якщо дана пара має властивість розширення гомотопії, то тотожне відображення $(X\times \{0\}\cup A\times I)\to (X\times \{0\}\cup A\times I)$ можна продовжити на деяке відображення $X\times I\to (X\times \{0\}\cup A\times I).$ Отже $(X\times \{0\}\cup A\times I)$ є ретрактом $X\times I.$

Навпаки, якщо існує ретракція $f:X\times I\to (X\times \{0\}\cup A\times I)$ то будь-яке відображення $(X\times \{0\}\cup A\times I)\to Y$ можна продовжити до відображення $X\times I\to Y$ як $G=g\circ f.$ Тому пара $(X,A)$ має властивість розширення гомотопії.

• Якщо пара $(X,A)$ має властивість розширення гомотопії і X є гаусдорфовим простором, то A є замкнутою підмножиною простору X.

Справді, якщо $f:X\times I\to (X\times \{0\}\cup A\times I)$ є ретракцією, то її образ є також підпростором у $X\times I$ для точок якого $f(z)=z.$ Оскільки X (а тому і $X\times I$) є гаусдорфовим простором то $X\times \{0\}\cup A\times I$ є замкнутою підмножиною у $X\times I,$ тож A є замкнутою підмножиною простору X.

• Якщо пара $(X,A)$ має властивість розширення гомотопії, то для будь-якого топологічного простору Y пара $(X\times Y,A\times Y)$ теж має властивість розширення гомотопії.
• Якщо пара $(X,A)$ має властивість продовження гомотопії і $A$ є стягуваним простором, то відображення факторизації $q:X\to X/A$ є гомотопною еквівалентністю.

Нехай $f_t:X\to X$ є гомотопією, що продовжує гомотопію стягнення підпростору A у точку, де $f_0$ є тотожним відображенням. Оскільки $f_t(A)\subset A,\mathrm{\forall }t$ то композиція $q\circ f_t:X\to X/A$ переправляє A у точку і тому її можна записати також як $X\stackrel{q}{\to }X/A\stackrel{{\overline{f}}_t}{\to }X/A$ і тому можна записати $q\circ f_t={\overline{f}}_t\circ q.$

Для t = 1 за означенням $f_1(A)$ є точкою до якої стягується A і тому $f_1$ породжує відображення $g:X/A\to X$ для якого $g\circ q=f_1.$ Також $q\circ g={\overline{f}}_1$ оскільки $q\circ g(\overline{x})=q\circ g\circ q(x)=q\circ f_1(x){\overline{f}}_1\circ q(x)={\overline{f}}_1(\overline{x}).$ Відображення g і q є гомотопно оберненими оскільки $g\circ q=f_1\simeq f_0$ через гомотопію $f_t$ і $q\circ q={\overline{f}}_1\simeq {\overline{f}}_0$ через гомотопію ${\overline{f}}_t,$ а за означеннями $f_0$ і ${\overline{f}}_0$ є тотожніми відображеннями на просторах $X$ і $X/A.$

• Якщо $(X,A)$ має властивість розширення гомотопії, то включення $i:A\to X$ є кофібрацією. Насправді, якщо врахувати будь-яку кофібрацію $i:Y\to Z,$ то $𝑌$ є гомеоморфним його образу при відображенні $𝑖.$ Це означає, що будь-яка кофібрація може розглядатися як відображення включення, що має властивість розширення гомотопії.
• Якщо $(X,A)$ і $(Y,A)$ є парами просторів із властивістю гомотопного продовження і $f:X\to Y$ є гомотопною еквівалентністю, що є тотожним відображенням на $A,$ то $f$ є гомотопною еквівалентністю відносно $A.$

Див. також

• Кофібрація

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation