Визначникова тотожність Сильвестра

У теорії матриць, визначникова тотожність Сильвестра — це тотожність корисна для обчислення певних типів визначників. Її назвали на честь Джеймса Джозефа Сильвестра, який навів цю тотожність без доведення у 1851.

Дано n×n-матрицю $A$ та два набори індексів

$u=(u_1,\dots ,u_m),v=(v_1,\dots ,v_m)\subset (1,\dots ,n)$

тобто, m-елементних впорядкованих підмножин $(1,\dots ,n)$, де m ≤ n. Нехай $A_v^u$ позначає (n−m)×(n−m) підматрицю $A$ отриману видаленням рядків з номерами $u$ та стовпців з номерами $v$. Позначимо додатково m×m матрицю ${\tilde{A}}_v^u$ елементами якої є наступні визначники

$({\tilde{A}}_v^u{)}_{ij}:=\det (A_{v[{\hat{v}}_j]}^{u[{\hat{u}}_i]}),$

де $u[\widehat{u_i}]$, $v[\widehat{v_j}]$ позначають підмножину m-1 елементів $u$ і $v$, отримані шляхом видалення елементів $u_i$ та $v_j$ відповідно.

Тоді детермінантною тотожністю Сильвестра є:

$\det (A)\cdot (\det (A_v^u){)}^{m-1}=\det ({\tilde{A}}_v^u).$

Доведення тотожності спирається на формули для отриманя елементів у методі Гаусса перетворення матриці $A$ до трикутного вигляду.

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:MathWorld