Булева алгебра з двома елементами

Булева алгебра з двома елементами — булева алгебра на булевій множині. Використовується в бінарній логіці.

Визначення

B - це частково впорядкована множина і елементи цієї множини є також її обмежені множини. Операція арності n це функція $B^n\to B$. Булева алгебра складається з двох бінарних операцій і унарної операції. Ця алгебра є фундаментом функціонування цифрових дискретних систем. Операція $\vee$ в такій алгебрі має назву "логічного АБО" (logical OR), операція $\wedge$ -- "логічного І" (logical AND), а елементам 1 та 0 ставляться у відповідність твердження "істина" (true) та "неправда" (false).

Деякі основні тотожності

• $0\vee 0=1\wedge 0=0\wedge 1=0$
• $1\wedge 1=0\vee 1=1\vee 0=1$
• $1\vee 1=1$
• $0\wedge 0=0$
• $\bar{1}=0$
• $\bar{0}=1$

Зверніть увагу:

• $\wedge$ і $\vee$працює так само, як в чисельній арифметиці, окрім того, що $1\wedge 1=1$
• обмінявши 0 і 1, і '$\wedge$' і '$\vee$' отримаємо істину, саме в цьому полягає дуальність

• $A\wedge A=A$
• $A\vee A=A$
• $A\wedge 0=A$
• $A\wedge 1=1$
• $A\vee 0=0$
• $\bar{\vee }\bar{A}=A$

Виконується властивість дистрибутивності:

• $A\vee (B\wedge C)=(A\vee B)\wedge (A\vee C);$
• $A\wedge (B\vee C)=(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$

• $A\vee B=\overline{\stackrel{‾}{A}\wedge \stackrel{‾}{B}}$
• $A\wedge B=\overline{\stackrel{‾}{A}\vee \stackrel{‾}{B}}$

• $A\vee B\vee C=B\vee C\vee A$
• $\bar{A}A=1$
• $A\vee 0=A$

Шаблон:Math-stub