Бет (літера)

Шаблон:Гебрейський алфавіт Бет, Шаблон:Lang-he — друга літера гебрайської абетки. Пишеться ב. Має числове значення (гематрію) 2.

ב ב

Бет в теорії множин

В теорії множин символ ${\beth }_1$ (читається «бет один») позначає потужність множини, яка рівна $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$. Відповідно, існують символи ${\beth }_2$, ${\beth }_3$ и так далі. Більш докладно — статті про потужність множин.

Зв'язок з алеф номером

Припускаючи, що аксіома вибору нескінченної потужності лінійно впорядкована, то немає двох потужностей які не можуть бути порівняні. Таким чином, оскільки, за визначенням, не є нескінченними потужності між ${\mathrm{\aleph }}_0$ і ${\mathrm{\aleph }}_1$ випливає, що ${\beth }_1\ge {\mathrm{\aleph }}_1.$ Повторюючи це міркування (див. трансфінітних індукції) отримуємо: ${\beth }_{\alpha }\ge {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ для всіх ординалів $\alpha$. Континуум-гіпотеза еквівалентна ${\beth }_1={\mathrm{\aleph }}_1.$

Узагальнення континуум-гіпотези стверджує, що послідовність чисел Бет визначена так само, як послідовність Алеф номерів, тобто ${\beth }_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ для всіх порядкових чисел $\alpha$.

Визначення

Для визначення числа Бет, припустимо

${\beth }_0={\mathrm{\aleph }}_0$

є потужність будь-якої зліченної нескінченної множини (для прикладу візьмемо множину $\mathbb{N}$ з натуральних чисел). Позначимо P(A) булеан або множину всіх підмножин множини A. Тоді визначимо

${\beth }_{\alpha +1}=2^{{\beth }_{\alpha }},$

яка є потужністю булеану А, якщо ${\beth }_{\alpha }$ є потужністю А. Маючи це означення

${\beth }_0,{\beth }_1,{\beth }_2,{\beth }_3,\dots$

є відповідно потужностями

$\mathbb{N},P(\mathbb{N}),P(P(\mathbb{N})),P(P(P(\mathbb{N}))),\dots .$.

Тоді друге число Бет ${\beth }_1$ дорівнює $𝔠$, потужності континууму, і третє число бет ${\beth }_2$ — потужність булеану континууму.

Тоді за Теоремою Кантора кожен набір в попередній послідовності має потужність строго більше, ніж попередній. Для нескінченних порядкових чисел λ відповідне число Бет визначається як верхня межа чисел Бет для всіх порядкових чисел строго менших за λ:

${\beth }_{\lambda }=\sup \{{\beth }_{\alpha }:\alpha <\lambda \}.$

Окремі кардинальні числа

Бет-нуль

Так як за означенням це є ${\mathrm{\aleph }}_0$ або алеф нуль, тоді множини з потужністю ${\beth }_0$ включають:

• натуральні числа N
• раціональні числа Q
• алгебраїчні числа
• множину скінченних множин цілих чисел

Бет один

Множини з потужностями ${\beth }_1$ включають в себе:

• трансцендентні числа
• ірраціональні числа
• дійсні числа R
• комплексні числа C
• евклідовий простір Rⁿ
• множину всіх підмножин множини натуральних чисел
• множину послідовностей цілих чисел (тобто всі функції N → Z, часто позначаються Z^N)
• множину послідовностей дійсних чисел, R^N
• множину всіх неперервних функцій з R на R
• множину скінченних підмножин дійсних чисел

Бет два

${\beth }_2$ також називають 2^c. Множини з потужністю ${\beth }_2$ включають в себе:

• множину всіх функцій з R на R (R^R)
• множина всіх функцій з R^m на Rⁿ