Асоційована матриця

Асоційована матриця (Шаблон:Lang-en) — матриця, чиїми елементами є всі мінори заданого розміру іншої матриці. Асоційовані матриці тісно пов'язані з зовнішніми алгебрами і мають застосування в ряді задач фізики та економіки.

Означення

Для матриці $A$ розміру $m\times n$ виберемо підмножину $I$ розміру $r$ з індексів $\{1,\dots m\}$ та підмножину $J$ розміру $s$ з індексів $\{1,\dots n\}$. Тоді позначимо $A_{I,J}$ підматрицю $A$ складену з рядків індексованих $I$ та стовпців індексованих $J$.

Тоді $r$-та асоційована матриця (позначається $C_r(A)$) матриці $A$ визначається наступним чином. Якщо $r>min(m,n)$, тоді $C_r(A)$ є матрицею розміру Шаблон:Math. Інакше, $C_r(A)$ має розмір $(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})$. Її рядки та стовпці індексовані $r$-елементними підмножинами із $\{1,\dots m\}$ та $\{1,\dots n\}$, відповідно, в лексикографічному порядку. А елементом що відповідає індексам $I$ та $J$ є мінор $det{A}_{I,J}$.

Приклад

Для матриці

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 5& 6& 7& 8\\ 9& 10& 11& 12\end{array}\right).$

Індекси строк {1, 2, 3} та індекси стовпців {1, 2, 3, 4}. Тому рядки $C_2(A)$ індексуватимуться множинами

$\{1,2\}<\{1,3\}<\{2,3\}$

а стовпці індексуватимуться множинами

$\{1,2\}<\{1,3\}<\{1,4\}<\{2,3\}<\{2,4\}<\{3,4\}.$

Виберемо відповідні рядки та стовпці, щоб сформувати визначники, які будуть елементами асоційованої матриці:

$\begin{array}{cc}{C}_2(A)& =\left(\begin{array}{cccccc}\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 5& 6\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 5& 7\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}1& 4\\ 5& 8\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 6& 7\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& 8\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 7& 8\end{array}\right|\\ \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 9& 10\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 9& 11\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}1& 4\\ 9& 12\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 10& 11\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 10& 12\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 11& 12\end{array}\right|\\ \left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 9& 10\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}5& 7\\ 9& 11\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 9& 12\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}6& 7\\ 10& 11\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}6& 8\\ 10& 12\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}7& 8\\ 11& 12\end{array}\right|\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccccc}-4& -8& -12& -4& -8& -4\\ -8& -16& -24& -8& -16& -8\\ -4& -8& -12& -4& -8& -4\end{array}\right).\end{array}$

Властивості

• $C_0(A)=I_1$ — Шаблон:Math одинична матриця.
• $C_1(A)=A$.
• $C_r(cA)=c^r{C}_r(A)$.
• Якщо $rk(A)=r$, то $C_r(A)=1$.
• Якщо $1\le r\le n$, то $C_r(I_n)=I_{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})}$.

Якщо $1\le r\le min(m,n)$:

• $C_r(A^T)=C_r(A{)}^T$
• $C_r(A^{*})=C_r(A{)}^{*}$.
• Шаблон:Math.

Якщо $A$ квадратна матриця розміру $n$:

• $C_n(A)=detA$
• Якщо $A$ — невироджена, то $C_r(A^{-1})=C_r(A{)}^{-1}$

Якщо $A$ одну з наступних властивостей, то і $C_r(A)$ має її:

• верхня/нижня трикутна
• діагональна
• ортогональна
• унітарна
• симетрична
• ермітова
• косо-симетрична (якщо $r$ — непарне)
• косо-ермітова (якщо $r$ — непарне)
• додатновизначена
• нормальна

Зв'язок з зовнішньою алгеброю

...

Зв'язок з союзною матрицею

...

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць