Антиголоморфна функція

Антиголоморфна функція (також антианалітична) — комплексна функція, тісно пов'язана з голоморфною функцією.

Визначення

Функція $f$, визначена на відкритій підмножині $D$ комплексної площини, називається антиголоморфною, якщо її похідна $\frac{df}{d\overline{z}}$ по $\overline{z}$ (де рискою позначається комплексне спряження)існує в усіх точках цієї множини. Визначення можна також записати аналогічно до умов Коші — Рімана:

$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x}$

де

$f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy,\{x,y,u,v\}\subset ℝ$

Властивості

• $f(z)$ голоморфна в $D$ тоді і тільки тоді, коли $f(\overline{z})$ антиголоморфна в $\overline{D}=\{\overline{z}|z\in D\}$.
• Функція є антиголоморфною тоді і тільки тоді, коли її можна розкласти за ступенями $\overline{z}$ у околі кожної точки її області визначення.
• $f(z)$ голоморфна в $D$ тоді і тільки тоді, коли $\overline{f}(z)$ антиголоморфна в $D$.
• якщо функція одночасно голоморфна і антиголоморфна, то вона є константою на будь-якій зв'язаній компоненті її області визначення.

Приклад

Функція $z\mapsto \frac{1}{\bar{z}}$ є антиголоморфною в $ℂ\setminus \{0\}$. Легко перевірити умови голоморфності:

$f(z)=\frac{z}{|z{|}^2}=\underset{u}{\underbrace{\frac{x}{x^2+y^2}}}+i\underset{v}{\underbrace{\frac{y}{x^2+y^2}}},$

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2},\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2{)}^2},\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2{)}^2}.$

Зрозуміло, що антиголоморфність відразу випливає з того, що дана функція є комплексно спряженою до функції $z\mapsto \frac{1}{z}$, що є голоморфною у множині $ℂ\setminus \{0\}$.

Див. також

• Голоморфна функція

Посилання

• Антиголоморфна функція Шаблон:Webarchive на сайті PlanetMath. Шаблон:Ref-en