Аналіз відповідності

Аналіз відповідності (АВ) - це багатовимірний статистичний метод. Це концептуально схоже на аналіз головних компонент, але застосовується для категоріальних, а не для неперервних даних. Подібним чином як в аналізі головних компонент, він забезпечує засіб відображення або підведення висновків в двовимірній графічній формі. Всі дані повинні бути невідємними і в тому є масштабі, щоб вони могли бути застосованими. Метод розглядає рядки і стовпці еквівалентно. Він традиційно застосовується для таблиць спряженості - АВ аналізує статистичну величину хі-квадрат, пов'язану з цією таблицею ортогональними факторами. Оскільки АВ є описовою технікою, він може бути застосованим до таблиць, які можуть відповідати, а можуть і не відповідати, величині ${\chi }^2$ .

Деталі

Як і аналіз головних компонент, аналіз відповідності створює ортогональні складові та для кожного елемента в таблиці - набір множин (іноді так званий фактор оцінки). Аналіз відповідності виконаний для даних таблиці спряженості, C , розміру m×n , де m - кількість рядків і n - кількість стовпців.

Попередня обробка

З таблиці C обчислюємо набір ваги для стовпців та рядків (інколи називають масою), де маса рядка:

$w_m=(1C1{)}^{-1}C1$

А маса стовпчика:

$w_n=(1C1{)}^{-1}1C$

Далі, знаходиться таблиця S (яка називається стохастичною матрицею):

$S=(1C1{)}^{-1}C$.

Обчислення маси:

$M=S-w_m{w}_n^{*}$

Де $w_n^{*}$ позначає ермітово – спряжену матрицю для $w_n$ .

Ортогональні складові

Таблиці M потім аналізується із узагальненим одиничним розкладом, де лівий і правий одиничні вектори обмежені вагою. Ваги - діагональна таблиця:

$W_m=diag\{w_m\}$

та

$W_n=diag\{w_n\}$

Де діагональні елементи - це , а всі інші рівні нулю. M потім розкладають за допомогою узагальненого одиничного розкладу:

$M=U\mathrm{\Sigma }{V}^{*}$

, де

$U^{*}{W}_{m}U=V^{*}{W}_{n}V=I.$

Фактор – оцінка

Фактор оцінки для ряду елементів таблиці C :

$F_m=W_{m}U\mathrm{\Sigma }$

а для стовпця:

$F_n=W_{n}V\mathrm{\Sigma }$.

Додатки та застосування

Кілька варіантів АВ доступні, в тому числі канонічний аналіз відповідності. Розширення аналізу відповідності до багатьох категоріальних змінних - називають багатовимірним аналізом відповідності. Адаптації аналізу відповідності до проблеми дискримінації за ознакою якісних змінних (тобто, еквівалент дискримінантного аналізу для якісних даних) називається дискримінантним аналізом відповідності або барицентричним дискримінантним аналізом. У суспільних науках, аналіз відповідності, і особливо його розширення до багатовимірного аналізу відповідностей, стало відомим за межами Франції шляхом його застосування французьким соціологом П'єра Бурдьє.