Адіабатичний інваріант

Адіабатичний інваріант — величина, що не міняється при плавній «адіабатичній» зміні параметра фізичної системи. Адіабатичність зміни параметра означає те, що характерний час цієї зміни набагато більший за характерний час процесів, які відбуваються в самій системі.

Класична механіка

У класичній механічній системі, яка здійснює періодичний рух з періодом T і залежить від параметра $\lambda$, адіабатичність зміни параметра визначається умовою

$T\frac{d\lambda }{dt}<<\lambda$.

Функція гамільтона системи залежить від її внутрішніх змінних та параметра

$\mathscr{H}=\mathscr{H}(q,p,t)$

Внутрішні змінні q і p міняються з часом швидко, з періодом T. Але енергія системи E є інтергралом руху при незмінному параметрі. При зміні параметра

$\frac{dE}{dt}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \lambda }\frac{d\lambda }{dt}$.

При усередненні цього виразу по часу впродовж періоду можна вважати, що параметр $\lambda$ незмінний.

$\overline{\frac{dE}{dt}}=\frac{d\lambda }{dt}\overline{\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \lambda }}$,

де усереднення визначене як

$\overline{\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \lambda }}=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \lambda }dt$.

Зручно перейти від інтегрування по часу до інтегрування по змінній q:

$dt=\frac{dq}{\partial \mathscr{H}/\partial p}$.

У такому випадку, період T дорівнює

$T=\oint \frac{dq}{\partial \mathscr{H}/\partial p}$,

де інтегрування проводиться вперед і назад у межах зміни координати за період руху.

Записуючи імпульс, як функцію енергії E, координати q і параметра $\lambda$, після деяких перетворень можна отримати

$\oint (\frac{\partial p}{\partial E}\overline{\frac{\partial E}{\partial t}}+\frac{\partial p}{\partial \lambda }\frac{d\lambda }{dt})dq=0$.

Остаточно, можна записати

$\overline{\frac{dI}{dt}}=0$,

де величина

$I=\frac{1}{2\pi }\oint pdq$,

і буде адіабатичним інваріантом. Інтеграл береться по траєкторії руху при заданих E та $\lambda$

Властивості адіабатичного інваріанту

Похідна від адіабатичного інваріанту по енергії дорівнює періоду, розділеному на $2\pi$.

$2\pi \frac{\partial I}{dE}=T$

або

$\frac{\partial E}{\partial I}=\omega$,

де $\omega$ — циклічна частота.

Адіабатичний інваріант можна, також виразити через площу, визначеному замкнутою траєкторією, в фазовому просторі

$I=\frac{1}{2\pi }\int dpdq$.

За допомогою канонічних перетворень можна зробити адіабатичний інваріант новою змінною, яка називається змінною дії. В новій системі змінних вона відіграє роль імпульсу. Канонічно спряжена до неї змінна називається кутовою змінною.