Авторегресійне інтегроване ковзне середнє

У статистиці та економетриці, і зокрема в аналізі часових рядів, модель авторегресійної інтегрованої ковзної середньої, ARIMA (Шаблон:Lang-en ) є узагальненням моделі авторегресійної ковзної середньої (ARMA). Обидві ці моделі адаптуються до даних часових рядів або для кращого розуміння даних, або для прогнозування. Моделі ARIMA застосовуються в деяких випадках, коли дані демонструють докази нестаціонарності. Коли сезонність відображається в часовому ряді, можна застосувати сезонну різницю , щоб усунути сезонний компонент.

Визначення

Задано часовий ряд даних X_t, де t - ціле число і X_t - дійсні числа. Модель $\text{ARIMA}(p^{\prime },q)$ визначається таким чином

$X_t-{\alpha }_1{X}_{t-1}-\dots -{\alpha }_{p^{\prime }}{X}_{t-p^{\prime }}={\epsilon }_t+{\theta }_1{\epsilon }_{t-1}+\cdots +{\theta }_q{\epsilon }_{t-q},$

або еквівалентно:

$(1-\sum _{i=1}^{p^{\prime }}{\alpha }_i{L}^i)X_t=(1+\sum _{i=1}^q{\theta }_i{L}^i){\epsilon }_t$

де $L$ - оператор запізнення (лаг), ${\alpha }_i$ - параметри авторегресійної частини моделі, ${\theta }_i$ - параметри рухомої середньої частини, а ${\epsilon }_t$ - помилкові члени. Помилкові члени ${\epsilon }_t$ зазвичай вважаються незалежними та однаково розподіленими випадковими величинами з нульовим середнім.

Припустимо тепер, що поліном $(1-{\sum }_{i=1}^{p^{\prime }}{\alpha }_i{L}^i)$ має одиничний корінь (множник $(1-L)$) кратності d. Тоді його можна переписати так:

$(1-\sum _{i=1}^{p^{\prime }}{\alpha }_i{L}^i)=(1-\sum _{i=1}^{p^{\prime }-d}{\phi }_i{L}^i){(1-L)}^d.$

Процес ARIMA(p, d, q) виражає цю властивість факторизації полінома з параметрами p=p'−d і визначається так:

$(1-\sum _{i=1}^p{\phi }_i{L}^i)(1-L{)}^d{X}_t=(1+\sum _{i=1}^q{\theta }_i{L}^i){\epsilon }_t$

і може бути розглянутий як частковий випадок процесу ARMA(p+d, q), де авторегресійний поліном має d одиничних коренів. (З цієї причини жоден процес, який точно описується моделлю ARIMA з d > 0, не є широко-стаціонарний.)

Це можна узагальнити наступним чином.

$(1-\sum _{i=1}^p{\phi }_i{L}^i)(1-L{)}^d{X}_t=\delta +(1+\sum _{i=1}^q{\theta }_i{L}^i){\epsilon }_t.$

Це визначає процес ARIMA(p, d, q) з зсувом $\frac{\delta }{1-\sum {\phi }_i}$.

Див. також

• Автокореляція
• АРМА
• Кінцева імпульсна характеристика