Інтерполяційні формули

Шаблон:Приєднати до Інтерполяційні формули — формули в математиці, що дають наближене вираження функції за допомогою інтерполяції многочленами.

Інтерполяційний многочлен $P_n(x)$ ступеня $n$, значення якого в заданих точках $x_0,x_1,\dots ,x_n$ збігаються зі значеннями $y_0,y_1,\dots ,y_n$ функції в цих точках, визначається єдиним чином, але в залежності від завдання його зручно записувати різними формулами.

Формула Лагранжа

Шаблон:Main Функція $f(x)=f_0+f_{1}x+f_2{x}^2+\dots$ може бути інтерпольована на відрізку $[x_0,x_n]$ інтерполяційним поліномом $P_n(x)$, записаним у формі Лагранжа:

$f(x)\approx P_n(x)=\sum _{k=0}^n{y}_k\frac{(x-x_0)(x-x_1)\dots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\dots (x-x_n)}{(x_k-x_0)(x_k-x_1)\dots (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\dots (x_k-x_n)},$

Похибка інтерполяції:

$|f(x)-P_n(x)|\le \frac{\Vert f^{(n+1)}(x)\Vert }{(n+1)!}\cdot \Vert {\mathrm{\Pi }}_n(x)\Vert ,{\mathrm{\Pi }}_n(x)=(x-x_0)(x-x_1)\dots (x-x_n).$

У просторі дійсних неперервних функцій відповідні норми набирають вигляду:

$\Vert f^{(n+1)}(x)\Vert =\underset{x\in [x_0,x_n]}{\max }|f^{(n+1)}(x)|,\Vert {\mathrm{\Pi }}_n(x)\Vert =\underset{x\in [x_0,x_n]}{\max }|{\mathrm{\Pi }}_n(x)|.$

Формула Ньютона

Шаблон:Main Якщо точки $x_0,x_1,\dots ,x_n$ розташовані на рівних відстанях $(x_k=x_0+kh)$, поліном можна записати:

$P_n(x_0+th)=y_0+\frac{t}{1!}\mathrm{\Delta }{y}_0+\frac{t(t-1)}{2!}{\mathrm{\Delta }}^2{y}_0+\dots +\frac{t(t-1)\cdots (t-n+1)}{n!}{\mathrm{\Delta }}^n{y}_0$

(тут $x_0+th=x$, а ${\mathrm{\Delta }}^k$ — різниці k-го порядку: ${\mathrm{\Delta }}^k{y}_i={\mathrm{\Delta }}^{k-1}{y}_{i+1}-{\mathrm{\Delta }}^{k-1}{y}_i$).

Це формула Ньютона для інтерполяції вперед; назва формули вказує на те, що вона містить задані значення $y$, що відповідають вузлам інтерполяції, що знаходяться тільки праворуч від $x_0$. Ця формула зручна при інтерполяції функцій для значень $x$, близьких до $x_0$.

При інтерполяції функцій для значень $x$, близьких до $x_k$, формулу Ньютона доцільно перетворити, змінивши початок відліку (див. Нижче формули Стірлінга і Бесселя).

Формулу Ньютона можна записати і для нерівновіддаленими вузлів, вдаючись для цієї мети до розділених різниць. На відміну від формули Лагранжа, де кожен член залежить від всіх вузлів інтерполяції, будь-який $k$-й член формули Ньютона залежить від перших (від початку відліку) вузлів і додавання нових вузлів викликає лише додавання нових членів формули (в цьому перевага формули Ньютона).

Коротка форма інтерполяційної формули Ньютона для випадку рівновіддалених вузлів:

$P_n(x)=\sum _{m=0}^n(C_x^m\sum _{k=0}^m(-1{)}^k{C}_m^k{f}_{m-k})$

де $C_x^m$ — узагальнені на область дійсних чисел біноміальні коефіцієнти.

Інтерполяційна формула Стірлінга

$f(x_0+th)=y_0+\frac{t}{1!}\mu \delta y_0+\frac{t^2}{2!}{\delta }^2{y}_0+\frac{t(t^2-1^2)}{3!}\mu {\delta }^3{y}_0+\frac{t^2(t^2-1^2)}{4!}{\delta }^4{y}_0+$

$+\frac{t(t^2-1^2)(t^2-2^2)}{5!}\mu {\delta }^5{y}_0+\cdots +\frac{t^2(t^2-1^2)(t^2-2^2)\cdots [t^2-(k-1{)}^2]}{(2k)!}{\delta }^{2k}{y}_0$

(про значення символу $\mu$ зв'язку центральних різниць ${\delta }^m$ з різницями ${\mathrm{\Delta }}^m$ див. Кінцевих різниць числення)

Застосовується при інтерполяції функцій для значень $x$, близьких до одного з середніх вузлів $a$; в цьому випадку природно взяти непарне число вузлів $x_{-k},\dots ,x_{-1},x_0,x_1,\dots ,x_k$, вважаючи $a$ центральним вузлом $x_0$.

Інтерполяційна формула Бесселя

$f(x_0+th)\approx \mu y_{1/2}+\frac{(t-1/2)}{1!}\delta y_{1/2}+\frac{t(t-1)}{2!}\mu {\delta }^2{y}_{1/2}+\frac{t(t-1)(t-1/2)}{3!}{\delta }^3{y}_{1/2}+$

$+\frac{t(t-1)(t+1)(t-2)}{4!}\mu {\delta }^4{y}_{1/2}+\frac{t(t-1)(t+1)(t-2)(t-1/2)}{5!}{\delta }^5{y}_{1/2}+\cdots +$

$+\frac{t(t-1)(t+1)\cdots (t-k)(t+k-1)(t-1/2)}{(2k+1)!}{\delta }^{2k+1}{y}_{1/2}$

Застосовується при інтерполяції функцій для значень $x$, близьких середин $a$ між двома вузлами; тут природно брати парне число вузлів $x_{-k},\dots ,x_{-1},x_0,x_1,\dots ,x_k,x_{k+1}$, і розташовувати їх симетрично щодо $a(x_0<a<x_1).$

Див. також

• Інтерполяція Ерміта
• Інтерполяційна формула Віттекера — Шеннона

Література

• Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954;