Пірамідне число

Пірамідне число — просторовий різновид фігурних чисел, що представляє піраміду з багатокутною основою та заданим числом трикутних бічних сторін. Вже античні математики досліджували тетраедричні та квадратні пірамідні числа, для яких в основі лежать правильний трикутник і квадрат відповідно. Нескладно визначити числа, пов'язані з пірамідами, в основі яких лежить будь-який інший многокутник, наприклад:

Геометричне подання квадратного пірамідного числа: Шаблон:Nobr

Визначення

Пірамідні числа визначають так:Шаблон:Рамка $n$-е за порядком $k$-кутне пірамідне число ${\mathrm{\Pi }}_n^{(k)}$ є сумою перших $n$ плоских фігурних чисел $P_n^{(k)}$ з тим самим числом кутів $k$:

${\mathrm{\Pi }}_n^{(k)}=P_1^{(k)}+P_2^{(k)}+P_3^{(k)}+\dots +P_n^{(k)}$

|}Геометрично пірамідне число ${\mathrm{\Pi }}_n^{(k)}$ можна подати як піраміду з $n$ шарів (див. малюнок), кожен з яких містить від 1 (верхній шар) до $P_n^{(k)}$ (нижня) куль.

За індукцією неважко довести загальну формулу для пірамідного числа, відому ще АрхімедуШаблон:Sfn:

${\mathrm{\Pi }}_n^{(k)}=\frac{n(n+1)((k-2)n-k+5)}{6}$

Праву частину цієї формули можна виразити через плоскі багатокутні числа:

${\mathrm{\Pi }}_n^{(k)}=\frac{(k-2)n-k+5}{3}{P}_n^{(3)}=\frac{n+1}{6}(2P_n^{(k)}+n)$

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Посилання

• Фігурні числа Шаблон:Wayback
• Figurate Numbers Шаблон:Wayback на сайті MathWorld Шаблон:Ref-en
• Centered Polygonal Number Шаблон:Wayback на сайті MathWorld Шаблон:Ref-en